Question

求函数值域的常用方法、并举例~

求函数值域有哪些方法，举例说明、详细~

Answer 1

求函数值域的几种常见方法
1直接法：利用常见函数的值域来求
一次函数y=ax+b(a
0)的定义域为R，值域为R；
反比例函数
的定义域为{x|x≠0},值域为{y|y≠0}；
二次函数的定义域为R
当a>0时，值域为{y|y≥(4ac-b²)/4a}；
当a<0时，值域为{y|y≤(4ac-b²)/4a}
例1．求下列函数的值域①
y=3x+2(-1≤x≤1)
②y=x²-2x+3
解：①∵-1≤x≤1，∴-3≤3x≤
3，∴-1≤3x+2≤5，即-1≤y≤5，
∴值域是y∈[-1，5]
②y=x²-2x+3
∵1>0,∴y(min)=(4ac-b²)/4a=[4×1×3-（-2）²]/4×1=1
即函数的值域是{y|y≥2}2．
二次函数在定区间上的值域(最值)：
①f(x)=x²-6x+12
x∈[4,6]
因为对称轴x=-b/2a=-(-6)/2×1=3
二次项系数1>0
所以f(x)=x²-6x+12
在x∈[4,6]是增函数
所以f(x)min=f(4)=4
f(x)max=f(6)=12
f(x)的值域是[4,12]
②f(x)=x²-6x+12
x∈[0,5]
因为对称轴x=-b/2a=-(-6)/2×1=3
二次项系数1>0
所以f(x)=x²-6x+12
在x∈[0,3]是减函数，在x∈(3,5]是增函数
所以f(x)min=f(3)=3
而f(0)=12
f(5)=7，所以f(x)max=f(0)=12
f(x)的值域是[3,12]
3观察法求y=(√x)+1的值域
∵√x≥0
∴√x+1≥1∴y=(√x)+1的值域是[1,+∞)
4配方法求y=√(x²-6x-5)的值域
∵-x²-6x-5≥0可知函数的定义域是[-5,-1]
∵-x²-6x-5=-(x+3)²+4因为-5≤x≤-1
所以-2≤x+3≤2
所以0≤(x+3)²≤4所以-4≤-(x+3)²≤0
终于得到0≤-(x+3)²+4≤4所以0≤√(x²-6x-5)≤2
所以y=√(x²-6x-5)的值域是[0,2]
5.图像法求y=｜x+3｜+｜x-5｜的值域
解：因为y=-2x+2(x<-3)
y=8
(-3≤x<5)
y=2x-2(x≥5)
自己画图像由图可知y=｜x+3｜+｜x-5｜的值域是[8,＋∞)
6.利用有界性求y=3^x/（1+3^x）的值域
解y=3^x/（1+3^x）两边同乘以1+3^x
所以
3^x=y（1+3^x)3^x=y+y3^x3^x-y3^x=y(1-y)3^x=y3^x=y/(1-y)
因为3^x>0
所以
y/(1-y)>0
解得
0<y<1值域为（0，1）
7判别式法求y=1/(2x²-3x+1)解
∵2x²-3x+1≠0∴函数的定义域是{x｜x∈R,且x≠1,
x≠1/2}
将函数变形可得2yx²-3yx+y-1=0当y≠0时,
上述关于x的二次方程有实数解Δ=9y²-8y(y-1)≥0所以y≤-8或y≥0
当y=0时，方程无解，所以=0不是原函数的值
所以y=1/(2x²-3x+1)的值域是(-∞,-8]∪(0,+∞)
8换元法求y=2x－√（x-1)的值域
解令t=√（x-1)显然t≥0以x=t²+1所以y=2(t²+1)-t=2t²-t+2=2(t-1/4)²+15/8
因为t≥0所以y=2x－√（x-1)的值域是[15/8,+∞) 9.三角函数与二次函数结合求y=（sinx+1）（2cosx-2）（x∈R）的值域
因为y=2sinxcosx-2sinx+2cosx-2=2sinxcosx-2(sinx-cosx)-2
令sinx-cosx=t
因为(sinx-cosx)²=t²
sin²x-2sinxcosx+cos²x=t²
1-2sinxcosx=t²
所以2sinxcosx=1-t²,
所以y=1-t²-2t-2y=-t²-2t-1=-（t+1)²
又因为t=sinx-cosx=√2sin(x-π/4)
由正弦函数的性质可得-√2≤t≤√2
因为-1∈[-√2,√2]由由二次函数在限定区间的单调性可
得当t=-1时,y取最大值
y(max)=0当t=√2时,,y取最小值
y(min)=-3-2√2
所以原函数的值域为[-3-2√2,0]