Question

如果函数f（x）在区间D上有定义，且对任意x1，x2∈D，x1≠x2，都有f(x...

如果函数f（x）在区间D上有定义，且对任意x1，x2∈D，x1≠x2，都有f(x1+x22)＜f(x1)+f(x2)2，则称函数f（x）在区间D上的“凹函数”． （Ⅰ）已知f（x）=ln（1+ex）-x（x∈R），判断f（x）是否是“凹函数”，若是，请给出证明；若不是，请说明理由； （Ⅱ）已知f（x）=ln（1+ex）-x是定义域在R上的减函数，且A、B、C是其图象上三个不同的点，求证：△ABC是钝角三角形．

Answer 1

解：（Ⅰ）函数f（x）是凹函数，证明如下：设x1，x2∈R，且x1＜x2，
则f(x1)+f(x2)-2f(x1+x22)
=ln(1+ex1)+ln(1+ex2)-x1-x2-2[ln(1+ex1+x22)-x1+x22]
=ln(1+ex1)(1+ex2)-ln(1+ex1+x22)2
=ln(1+ex1+ex2+ex1+x2)-ln(1+2ex1+x22+ex1+x2)
∵ex1＞0，ex2＞0，且x1≠x2
∴ex1+ex2＞2√ex1ex2=2ex1+x22
∴1+ex1+ex2+ex1+x2＞1+2ex1+x22+ex1+x2
∴ln(1+ex1+ex2+ex1+x2)＞ln(2+2ex1+x22+ex1+x2)
∴ln(1+ex1+ex2+ex1+x2)-ln(1+2ex1+x22+ex1+x2)＞0
∴f(x1)+f(x2)＞2f(x1+x22)∴f（x）是凹函数（7分）
（Ⅱ）证明：（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（（x3，y3），
且x1＜x2＜x3，∵f（x）是x∈R上的单调减函数∴f（x1）＞f（x2）＞f（x3）
∴BA•BC=(x1-x2)(x3-x2)+(f(x1)-f(x2))(f(x3)-f(x2))
∵x1-x2＜0，x3-x2＞0，f（x1）-f（x2）＞0，f（x3）-f（x2）＜0
∴BA•BC＜0，∴cosB＜0，∠B为钝角
故△ABC为钝角三角形．（13分）