Question

请问这题要怎么算啊？

求详细的计算过程，谢谢大佬

Answer 1

题目
设二次型f(x1,x2,x3)=(x1+x2)2+(x2−x3)2+(x1+x3)2

(1)写出二次型的矩阵

(2)求正交变换，将二次型化为标准型。

解析
（1）将题中给出的二次型进行分解，即可求得二次型的矩阵．（2）先求出二次型矩阵的特征值和对应的特征向量，然后见特征向量正交单位化，得到正交变换矩阵．
解答
由题意，f（x1，x2，x3）=2x12+2x1x2+2x1x3+2x22−2x2x3+2x32
因此，（1）二次型的矩阵A＝
2 1 1
1 2 −1
1 −1 2

（2）①求特征值：
由于A的特征多项式为：|λE−A|＝
.
λ−2 −1 −1
−1 λ−2 1
−1 1 λ−2
.
=λ（λ-3）2=0，得特征值为
λ=0，λ=3（2重）
②求特征向量：
将λ=0代入（λE-A）x=0，得基础解系：ξ1＝(−1，1，1)T，
将λ=3（2重）代入（λE-A）x=0，得基础解系：ξ2＝(1，1，0)T，ξ3＝(1，0，1)T
③将特征向量正交化：
取α1=ξ1，α2=ξ2，α3＝ξ3−
[α2，ξ3]
[α2，α2]
α2=ξ3−
1
2
ξ2，得正交向量组：
α1＝(−1，1，1)T，α2＝(1，1，0)T，α3=(
1
2
，−
1
2
，1)T
④将其单位化，得
η1＝
1
3
(−1，1，1)T，η2＝
1
2
(1，1，0)T，η3＝
6
2
(
1
2
，−
1
2
，1)T
得正交矩阵：
P＝
−
1
3
1
2
6
4
1
3
1
2
−
6
4
1
3
0
6
2

故所求的正交变换为
x=Py，在此变换下二次型可化为标准型
f＝3y22+3y32

Answer 2

详细的计算过程还是得自己完成，思路：二次型的矩阵A写出来应该没问题吧，二次型正定，那么矩阵的特征值都是正数。
标准型就是都是平方项，可以在a=2时使用配方法。正交变换就是找到一个可逆矩阵T，使得矩阵A转化为对角矩阵，然后再对P正交化即可，具体方法，教材上有，施密特正交化