Question

已知函数f（x）=2sinωxcosωx+2√3sin2ωx-√3（ω＞0）的最...

已知函数f（x）=2sinωxcosωx+2√3sin2ωx-√3（ω＞0）的最小正周期为π． （Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间； （Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g（x）的图象．若y=g（x）在[0，b）（b＞0）上至少含有10个零点，求b的最小值．

Answer 1

解：（Ⅰ）由题意，可得
f（x）=2sinωxcosωx+2√3sin2ωx-√3=sin2ωx-√3cos2ωx=2sin(2ωx-π3)．
∵函数的最小正周期为π，∴π2ω=π，解之得ω=1．
由此可得函数的解析式为f(x)=2sin(2x-π3)．
令2kπ-π2≤2x-π3≤2kπ+π2，解之得kπ-π12≤x≤kπ+5π12，k∈Z
∴函数f（x）的单调增区间是[kπ-π12，kπ+5π12] ，k∈Z．
（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，可得函数y=f（x+π6）+1的图象，
∵f(x)=2sin(2x-π3)
∴g（x）=2sin[2(x+π6)-π3]+1=2sin2x+1，可得y=g（x）的解析式为g（x）=2sin2x+1．
令g（x）=0，得sin2x=-12，可得2x=2kπ+7π6或2x=2kπ+11π6(k∈Z)
解之得x=kπ+7π12或x=kπ+11π12(k∈Z)．
∴函数g（x）在每个周期上恰有两个零点，
若y=g（x）在[0，b]上至少含有10个零点，则b不小于第10个零点的横坐标即可，
即b的最小值为4π+11π12=59π12．