Question

怎么把和式极限表示为定积分？

这第一题

Answer 1

这种题的套路如上，关键是第一步你要能写成那个样子

Answer 2

这是根据Riemann Sums 和 Definite Integrals 满足一定条件下的互换得来的。
Attn: x(i) = i/n, dx = x(i+1) - x(i) = 1/n是常用的，但并不是唯一一种形式.
举例：用求和做定积分∫[0,3] √x dx
如果设 x = i/n就完成不了求和，至少目前我们自己做不了。
但我们可以设 x(i) = 3 i^2/n^2, 这样一来，i = 0, x =0; i = n, x = 3;
√x = √3 i/n, dx = x(i+1) - x(i) = 3(2i-1)/n^2
∫[0,3] √x dx = sum{i = 0, oo} [√3 i/n][3(2i-1)/n^2] , n->oo
= sum{i = 0, oo} 6√3 i^2/n^3 , n->oo (抓大舍小）
= 2√3
Attn: sum{i = 0, oo} i^2 = (1/6)(n)(n+1)(2n+1)