Question

已知函数f（x）=2sinωx2•cosωx2-23cos2ωx2+3（ω＞0）...

已知函数f（x）=2sinωx2•cosωx2-23cos2ωx2+3（ω＞0），其图象与直线y=2的相邻两个公共点之间的距离为2π． （Ⅰ）若x∈[0，π]，试求出函数f（x）的单调递减区间； （Ⅱ）△ABC的三个内角A，B，C及其所对的边a，b，c满足条件：f（A）=0，a=2，且b，a，c成等比数列．试求CA在CB方向上的抽影n的值．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵f（x）=2sinωx2•cosωx2-23cos2ωx2+3
=sinωx-3cosωx
=2sin（ωx-π3），
∴f（x）=2sin（ωx-π3），
∵图象与直线y=2的相邻两个公共点之间的距离为2π．
∴T=2πω=2π，
∴ω=1，
∴f（x）=2sin（x-π3），
∵x∈[0，π]，
∴（x-π3）∈[-π3，2π3]
∵（x-π3）∈[π2，2π3，
∴x∈[5π6，π]，
∴函数f（x）的单调递减区间[5π6，π]．
（Ⅱ）根据（Ⅰ），得f（A）=2sin（A-π3）=0，
∵A∈（0，π），
∴A=π3，
∵b，a，c成等比数列．
∴a2=bc，
∵a2=b2+c2-2bccosπ3，
∴b=c，
∴B=C=π3，
∴△ABC为等边三角形，
∴n=|CA|cosC=1．