Question

求根号下(4x^2+1)的不定积分。。。

最好有过程- -

Answer 1

①令x=0.5*tan（x）
sqrt(4*x^2+1)dx=0.5*sec(x)dtan(x)
然后用分布积分（S为积分号）
Ssec(x)dtan(x)=Ssec(x)^3dx
下面求Ssec(x)^3dx
Ssec(x)^3dx
=Ssec(x)dtan(x)
=sec(x)*tan(x)-Stan(x)dsec(x)
=sec(x)*tan(x)-Stan(x)*(sec(x)^2-1)dx
=sec(x)*tan(x)-Ssec(x)^3+Ssec(x)dx
=sec(x)*tan(x)-Ssec(x)^3dx+ln|sec(x)+tan(x)|
看到吧，前后都有Ssec(x)^3，移项取半就行了
②上面太烦了，简单点
令x=0.5*sinh(x)
那么sqrt(4*x^2+1)dx=0.5*cosh(x)dsinh(x)=0.5*cosh(x)^2dx
然后就跟求0.5*cos(x)^2dx类似了，简单吧
③最后说下答案
asinh(2*x)/4 + x*(x^2 + 1/4)^(1/2)+C

Answer 2

解：f(x)＝根号下(4x^2+1)
令2x＝tanθ
f(x)＝根号下(tan²θ+1)
＝|secθ|
因为∫secxdx
=∫sec²x/secxdx
=∫cosx/cos²xdx
=∫1/cos²xdsinx
=∫1/(1-sin²x)dsinx
=-∫1/(sinx+1)(sinx-1)dsinx
=-∫[1/(sinx-1)-1/(sinx+1)]/2dsinx
=-[∫1/(sinx-1)dsinx-∫1/(sinx+1)dsinx]/2
=[∫1/(sinx+1)d(sinx+1)-∫1/(sinx-1)d(sinx-1)]/2
=(ln|sinx+1|-ln|sinx-1|)/2+C
=ln√|(sinx+1)/(sinx-1)|+C
=ln√|(sinx+1)²/(sinx+1)(sinx-1)|+C
=ln√|(sinx+1)²/(sin²x-1)|+C
=ln√|-(sinx+1)²/cos²x|+C
=ln|(sinx+1)/cosx|+C
=ln|tanx+1/cosx|+C
=ln|secx+tanx|+C

再将θ＝arctan2x代入
∫|secθ|＝ 2∫secθdθ

Answer 3

设x=(tan t)/2
所以被积式化成sec t
d((tan t)/2)=sec^2 t /2
所以原式=1/2*∫sec^3 t dt=1/2*∫(1/cos^4 t)cos t dt
=1/2*∫1/(1-sin^2 t)^2 d(sint)
另sint=u
原式=1/2*∫1/[(1-u)^2*(1+u)^2] du 这是有理函数的积分，应该会吧。
完了再把u换成x。
真有些复杂...