Question

高等数学高阶导数公式？

如图，这个导数没看懂，求下解释过程，谢谢啦

Answer 1

分享一种解法，应用泰勒级数展开式“简易”求解。
∵x∈R时，sinx=∑[(-1)^n][x^(2n+1)]/[(2n+1)!]，∴sin(2x)=∑[(-1)^n][(2x)^(2n+1)]/[(2n+1)!]。
∴y=x²sin(2x)=∑[(-1)^n][(2)^(2n+1)][x^(2n+3)]/[(2n+1)!]。n=0,1,2……，∞。
当n=24时，x的幂指函数2n+3=51。
∴对y求导50次，y^(50)=∑[(-1)^n][(2)^(2n+1)](2n+3)(2n+2)][x^(2n-47)]/[(2n-47)!]。n=24,25,26,……，∞。
供参考。

Answer 2

你是哪个符号不懂，还是这个公式怎么来的不懂？

追问

这个公式不知道怎么来的

追答

这个应该可以用数学归纳法证明：
a）duv/dx = u'v + uv'得证
b)假设(uv)^(k) = sum(C(n,k)u^(k)v^(n-k))
则uv的第k+1次导数
(uv)^(k+1) = d((uv)^(k))/dx = dsum(C(n,k)u^(k)v^(n-k))/dx
=sum(C(n,k) du^(k)v^(n-k)/dx)
=sum(C(n,k)u^(k+1)v^(n-k) + C(n,k) u^k v^(n-k+1))

对上市重新整理，考虑上式中的u^(k)v^(n-k+1)项，它的系数应该是C(n,k)+C(n,k-1)
根据组合数学知识，C(n,k)+C(n,k-1)=C(n+1,k)，带人就是你要的公式