Question

随机变量与高等数学中的函数有何异同

Answer 1

一、随机变量与函数的关系

1.定义1

设在某个变化过程中存在两个变量x,y，若对于某一非空数集中的每一个x值，按照某一确定的关系f都有唯一一个实数y 与之对应，则称变量y是变量x的函数，记为y=f(x)。其中x称为自变量，y称为因变量。使函数有意义的x的取值范围称为函数的定义域，通常用D表示；y的取值范围称为函数的值域，通常记为R。

这是我们熟知的函数的概念，事实上它是两个非空实数集合之间建立的映射关系。构成函数要求对每一个x，有唯一确定的y与之对应。

在概率论中为了用简洁精练的语言描述随机试验的结果，并用严格精确的数学方法研究随机现象，常采用将随机试验的结果数量化的方式来表示随机事件。也就是对随机试验样本空间中每一个样本点（基本事件），通过定义一个函数，赋予它唯一的一个实数值，这样的函数就称为随机变量。

2.定义2

设E是一个随机试验，它的样本空间为Ω={e}，如果对于Ω内每一个e都有一个实数X(e)和它对应，则称X(e)为随机变量，简记为X。

随机变量是由随机事件得到的变量，名为变量，实质上是一个函数，是从样本空间到实数上的一个单值函数，X(e):S→R。随机变量的引入大大简化了随机事件的刻画，对进一步研究随机事件的概率也起到了优化的作用。

概率论中重点考察的概率实际上是值域缩小到[0,1]区间的一个函数。自变量为随机事件，因变量为该随机事件发生的可能性的大小。对每一个随机事件（自变量），在对应法则下，能确定其发生的可能性大小——概率（因变量）。引入随机变量之后，概率就为实数到实数上的一个对应关系，等价于高等数学里定义的函数概念。

二、随机变量与函数的区别

随机变量又不同于高等数学中的函数。它的自变量是样本点，定义域是样本空间，由于自变量的随机性，在试验完成之前，不能预先知道哪个样本点会出现，也就没办法预知对应的函数值，所以这个函数的取值也是具有随机性的。这也是随机变量与普通变量（函数）的本质区别。因此对随机变量的分析，会重点放在其取值的可能性上。而对函数的分析更侧重函数的取值、性质和应用方面的研究。