（0＜p≤1/2 请问这道级数是收敛、发散？
∑ln〔1(-1)的（n-1）次方/n的p次方)〕,（0＜p≤1/2请问这道级数是收敛、发散？是不是中间是交错级数不能用等价无穷小等价做？...
∑ln〔1 (-1)的（n-1）次方/n的p次方)〕,（0＜p≤1/2 请问这道级数是收敛、发散？是不是中间是交错级数不能用等价无穷小等价做？
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这级数是发散。交错级数不能用等价无穷小的方法， 只有正项级数能用等价无穷小的方法。 ∑{1≤n}ln〔1+ (-1)^（n-1）/n^p〕,（0＜p≤1/2 ) 1。
设un=ln〔1+ (-1)^（n-1）/n^p〕， Lim{n→∞}un=0。所以 ∑{1≤n}un的敛散性和∑{1≤n}[-u（2n）-u（2n+1）]相同。 2。
设 vn=-u（2n）-u（2n+1）=-[ln〔1+ 1/（2n）^p〕+ln〔1-1/（2n+1）^p]= =-ln{1-[1-（2n+1）^p+（2n）^p]/[（2n）^p（2n+1）^p]}= =-ln{1-1/[（2n）^p（2n+1）^p]+O[1/n^（1+p）}= =1/[（2n）^p（2n+1）^p]+O[1/n^（1+p）}。
由于∑{1≤n}1/[（2n）^p（2n+1）^p]收敛， ∑{1≤n}1/n^（1+p）发散。所以 ∑{1≤n}vn=∑{1≤n}1/[（2n）^p（2n+1）^p]+∑{1≤n}O[1/n^（1+p）]发散。
∑{1≤n}un发散。 。
设un=ln〔1+ (-1)^（n-1）/n^p〕， Lim{n→∞}un=0。所以 ∑{1≤n}un的敛散性和∑{1≤n}[-u（2n）-u（2n+1）]相同。 2。
设 vn=-u（2n）-u（2n+1）=-[ln〔1+ 1/（2n）^p〕+ln〔1-1/（2n+1）^p]= =-ln{1-[1-（2n+1）^p+（2n）^p]/[（2n）^p（2n+1）^p]}= =-ln{1-1/[（2n）^p（2n+1）^p]+O[1/n^（1+p）}= =1/[（2n）^p（2n+1）^p]+O[1/n^（1+p）}。
由于∑{1≤n}1/[（2n）^p（2n+1）^p]收敛， ∑{1≤n}1/n^（1+p）发散。所以 ∑{1≤n}vn=∑{1≤n}1/[（2n）^p（2n+1）^p]+∑{1≤n}O[1/n^（1+p）]发散。
∑{1≤n}un发散。 。
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2024-10-13 广告
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