Question

请解答：已知a²=5,请说明a是无理数。

问题：已知a²=2，你能说明a是无理数吗？ 设a=n÷m，m与n是互质的两个整数，且m≠0.则有（n/m）²=2，所以n²=2m²，因为m是整数且不为零，所以n是不为0的偶数，设n=k，（k是不等于0的整数），所以（2k）²=2m²，可得到m²=2k²，所以m也是偶数，与m、n是互质的整数矛盾。所以，a是无理数。仔细阅读上文，然后，请解答：已知a²=5,请说明a是无理数。

Answer 1

假定a是
有理数
，则a可以表示成两个整数的商，令
a=m/n且这是
最简分数
，也就是m，n
互质
所以(m/n)^2=5
m^2
=5n^2
所以5
整除
m
所以可以表示为m=5m'
所以25m'^2
=5n^2
所以5m'^2
=n^2
所以5整除n
所以m，n有
公约数
5，与假设矛盾
所以得证
望采纳

Answer 2

证明：假设a是有理数，并设a=
p
q
（p，q是正整数，且互为质数，即p，q的最大公约数是1），
∵a的平方等于5，
∴（
p
q
）2=5，即p2=5q2，
∴p2含有因数5，设p=5n，
∴25n=5q2，即q2=5n2，
∴q2含有因数5，即q有因数5，
这样p，q有公因数5，
这与假设p，q的最大公约数是1相矛盾，a=
p
q
（p，q是正整数，且互为质数，即p，q的最大公约数是1）不成立，
故a不是有理数而是无理数．