Question

线性代数一题

设A是m×n阶矩阵，C是n的可逆矩阵，矩阵A的秩为r，矩阵B=ACC的秩为t，则下列结论正确的是（） A:>r>t；B:r<t；C:r=t；D::r和t关系不定。哪位高手帮我解答一下，谢谢！
矩阵B=AC的秩为t，上面写错了。

Answer 1

选C
证明：
用秩的不等式：
如果A是m*n矩阵，B是n*s矩阵。
则有：r(A)+r(B)-n <= r(AB) <= min{r(A),r(B)}

用到本题：
r(A)=r,
由于C可以，故C必定满秩，即r(C)=n.
所以：
r(A)+r(C)-n <= r(AC) <= min{r(A),r(B)}
r <= t <= r

因此t=r

Answer 2

如果C可逆，则r(B)=r(AC)=r(A);即r=t。

证明过程可以用两个矩阵乘积的秩小于等于这两个矩阵来证明。本来想给你写出来，但有些符号写起来不方便。