Question

求解怎么判断这个级数发散的？

Answer 1

判别一个级数的发散性有如下步骤。

1、看通项un的极限是不是0。

2、如果极限不为0，那么∑un必然发散。

3、如果极限为0，那么∑un就有可能发散也有可能收敛，要具体分析。

4、幂级数Σa_n*x^n（n从0到+∞）在收敛半径之内绝对收敛，在收敛半径之外发散。在收敛区间端点上有可能条件收敛、绝对收敛或者发散。

举例：判定∑(1/(n*n^(1/n)))是不是发散的。

1/(n*n^(1/n)）<1/n，可是∑1/n是发散的，所以还是不能断定。

但是注意到n^(1/n）在n很大的时候趋于1，所以1/(n*n^(1/n)）>1/(2n)。而∑1/(2n)发散，可以断定∑(1/(n*n^(1/n)))发散。

Answer 2

分享解法如下。∵e^n=1+n+(1/2!)n²+……>1+n，∴n>ln(1+n)，1/ln(n+1)>1/n。
∴∑1/ln(1+n)>∑1/n。而，级数∑1/n发散。∴级数∑1/ln(1+n)发散。
供参考。

追问

n大于ln(1+n)不理解怎么来的？

Answer 3

f(n)=ln(1+n)-n
f'(n)=1/(1+n)-1<0
所以f(n)是单调减函数
所以f(n)<f(1)=-1
所以ln(1+n)<n
1/ln(1+n)>1/n
而1/n发散，所以这个级数发散

追问

f(1)代入f(n)不是ln2-1吗？
为啥ln(1+n)小于n?(不是很理解）？
怎么想到设一个方程的呢？

追答

写错了，f(n)<f(2)=ln3 -2 <0

追问

好吧！为啥ln(1+n)小于n?(不是很理解）？
怎么想到设一个方程的呢？

追答

ln(1+n)<n是需要总记住的结论，至于证明，这是一种常见方法好不好，导数和单调性部分重点知识

Answer 4

首先要知道lnx≤x-1(不知道可以证一下，很简单)
所以1/ln(n+1)≥1/n
然后1/n是发散的知道吧?