Question

数学三角形相似问题

AB=AC，角A=36度，线段AB的中垂线MN交AC于点D，交AB于点M。求证D是线段AC黄金分割点

Answer 1

∵ 线段AB的中垂线MN交AC于点D
∴AD=BD
∴角A=角ABD
∵角A=36度
∴角ABC=角C=72度
∴角ABD=角DBC=36度
∴角BDC=角C=72度
∴BD=CB=AD
∵角A=角DBC,角C=角C
∴三角形ABC相似于三角形CBD
∴BD/AC=CD/BC
∴AD/AC=CD/AD
∴D是线段AC黄金分割点

Answer 2

证明三角形ABC和三角形BCD相似，因为MN是中垂线，所以BD等于AD，所以角ABD等于角A等于36度，剩下的自己应该可以推出来的吧？

Answer 3

MN垂直平分AB
所以，AD=BD
所以，角ABD=角A=36度
角BDC=角ABD+角A=72度
而AB=AC,
所以：角C=角ABC=(180-角A)/2=72度=角BDC
所以：BC=BD=AD
而：三角形ABC相似于三角形BCD
所以：AC/BC=BC/DC
BC^2=AC*DC=AC(AC-AD)
AD^2=AC(AC-AD)
AD^2+AC*AD-AC^2=0
(AD/AC)^2+(AD/AC)-1=0
AD/AC=[(根号5)-1]/2
所以：D是线段AC黄金分割点

Answer 4

2.
证明：
连接EF
∵E
F是中点
∴AE:AF=AB:AC(中点的性质）
∵∠A=∠A
∴△AFB∽△AEC
∴∠ABF=∠ACE
∵∠EGB=∠FGC
∴△EGB∽△FGC
∴EG:FG=BG:CG
∴EG:BG=FG:CG
∵∠EGF=∠BGC
∴△EGF∽△BGC
∴EG:BG=FG:CG==EF：BC=1：2（中位线）
∴GB:GE=GC:GF=2（比例的性质）

Answer 5

证明：如图所示，
∵MN是AB的
中垂线
，
∴AD=BD，
∴∠A=∠ABD=36°，
∴∠BDC=2∠A=72°，
∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠ACB=72°，
∴∠BDC=∠ABC，∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC，
∴AB：BD=BC：DC，
又∵BD=AD=BC，AB=AC，
∴AD²=DC•AC．
所以
D是线段AC
黄金分割点