什么是循环数？

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非循环小数是指小数点后面的数字没有周期性的重复和规律。包括有限不循环小数和无限不循环小数。
小数的含义：小数由整数部分、小数部分和小数点组成。当测量物体时往往会得到的不是整数的数，古人就发明了小数来补充整数小数是十进制分数的一种特殊表现形式。分母是10、100、1000……的分数可以用小数表示。所有分数都可以表示成小数，小数中除无限不循环小数外都可以表示成分数。无理数为无限不循环小数。
可以分为：
1.有限不循环小数。如：12.26578
2.有限循环小数。如：16.333333

3.无限不循环小数。如：3.14159265868236······
4.无限循环小数。如：37.11111111111·····
循环数是一个整数，满足乘连续的若干个数后各位发生循环。
简介
最广为人知的循环数是142857.其循环如下:
142857 × 1 = 142857
142857 × 2 = 285714
142857 × 3 = 428571
142857 × 4 = 571428
142857 × 5 = 714285
142857 × 6 = 857142
折叠编辑本段分析
为了确认一个数是否是循环数，需要保证这个数是乘连续的若干个数后发生循环。因此，076923不会被认为是一个循环数，即使它各位循环后的数都是它的倍数。
以下这些数比如是循环数;
1、单独的一位数，如5
2、单位重复的数，如555
3、循环数的重复，如142857
如果前导0不被允许，142857将是唯一一个十进制循环数。如果允许前导0，前几个循环数是:
142857 (6位)
0588235294117647 (16位)
052631578947368421 (18位)
0434782608695652173913 (22位)
0344827586206896551724137931 (28位)
0212765957446808510638297872340425531914893617 (46位)
0169491525423728813559322033898305084745762711864406779661 (58位)
016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459 (60位)
折叠编辑本段特征
循环数与单位分数的循环小数表示形式有关。一个长为L的循环数在数字上是1/(L+1)的循环节。相反的，如果1/p(p是质数)的循环节长度为p-1，它的循环节在数字上就是一个循环数。
折叠编辑本段形式
由循环数与单位分数的关系可得，循环数有这样的形式
其中b是数基(对于十进制，b=10)，而p是一个不是b的倍数的质数(能产生循环数的质数被称为全循环质数)
例如，b=10,p=7时会产生142857.
不是所有的p会根据这个公式产生循环数。例如当p=23时会产生076923076923。这些失败的例子总包含重复的数。
前几个产生十进制循环数的质数包括(OEIS中的数列编号为A001913)
7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, 167, 179, 181, 193, 223, 229, 233, 257, 263, 269, 313, 337, 367, 379, 383, 389, 419, 433, 461, 487, 491, 499, 503, 509, 541, 571, 577, 593, 619, 647, 659, 701, 709, 727, 743, 811, 821, 823, 857, 863, 887, 937, 941, 953, 971, 977, 983 …
这个数列中所有的数p满足10是p的模p原根，Emil Artin猜想称37.395..%的质数属于这个数列。
折叠编辑本段构造
循环数可以用程序构造，伪代码如下(其中b,p的定义上文已给出)
t = 0.
r = 1.
n = 0.
loop:
t = t + 1
x = r * b
d = int(x / p)
r = x mod p
n = n · b + d
If r ≠ 1 then goto loop;
if t = p - 1 then n is a cyclic number.
这个程序通过使用长除法计算1/p的数位构造。r是每一步的余数，d是产生的数。
若 t > p/2, 则这个数必定为循环数, 无需继续计算后面部分了。
折叠编辑本段性质
乘以产生一个循环数的质数时，结果会是一系列的9.如 142857 × 7 = 999999。
如果将其按位划分成若干等长份并加在一起，结果会是一系列的9.这是Midy定理的特殊情况。如14 + 28 + 57 = 99 142 + 857 = 999 1428 + 5714+ 2857 = 9999
所有的循环数都是9的倍数。
折叠编辑本段其他进制
二进制
01
0011
0001011101
000100111011
000011010111100101
三进制
0121
010212
0011202122110201
001102100221120122
0002210102011122200121202111
八进制
25
1463
0564272135
0215173454106475626043236713
0115220717545336140465103476625570602324416373126743
十二进制
2497
186A35
08579214B36429A7
二十四进制
3A6LDH
248HAMKF6D
1L795CN3GEJB
19M45FCGNE2KJ8B7
可以证明当 b 为完全平方数时，不存在长度超过1的循环数。