Question

勾股定理推理过程是什么

Answer 1

勾股定理是余弦定理的一个特例
证明
作△A'B'C'≌△ABC使点A的对应点A'在BC上,
连接AA' 、BB',延长B'A'交AB于点M .
∵△A'B'C是由△ABC旋转所得
∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C
∴∠A'B'C=∠ABC
延长B'A'交AB于点M
则∠A'B'C+∠B'A'C=90°
而∠B'A'C=∠MA'B（对顶角相等）
∴∠MBA'+MA'B=90°
∴B'M⊥AB
∴Rt△ABC∽Rt△A'BM
∴A'B/AB=A'M/AC
即(a-b)/c=A'M/b
∴A'M=(a-b)·b/c
∴S△ABB'=(1/2)AB·B'M=(1/2)AB·[B'A'+A'M]
=(1/2)·c·[c+(a-b)·b/c]
　　=(1/2)c^2+(1/2)(a-b)·b
=(1/2)[c^2+ab-b^2]
S△B'A'B=(1/2)A'B·B'C=(1/2)(a-b)a=(1/2)(a^2-ab)
而S△ABB=2·S△ABC+S△B'A'B
∴(1/2)[c^2+ab-b^2]=2·[(1/2)ab]+(1/2)(a^2-ab)
则c^2+ab-b^2=2ab+a^2-ab
∴a^2+b^2=c^2.