Question

数列极限的性质

Answer 1

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证明：
假设 有极限 ，根据极限定义

取 ，则当 时，上述两个不等式同时成立.于是由三角不等式有 由 的任意性知 .

证明：
设 收敛于 ，根据极限定义，对 即 取 ，则对 所有项都满足 ，因此 有界。
注： 该定理的逆命题不成立，即有界数列未必收敛.例如，

证明：
取 由 因而
而由 因而
取 则 有

推论1. 保号性

证明：
在保序性定理中，任取定 则存在 同理, 存在

推论2. 保不等式性

注：
即使 ,也未必有 例如, ，但

证明：
由数列 收敛于 ,知 ，此时对于数列 有 故 收敛于 .

证明：
假设从 项开始，上文不等式成立，
由 可知 从而有
由 可知 从而有
取 则 有: 即
所以
注：
夹逼性质是判断数列收敛并求出极限值的重要方法之一.在求比较复杂的数列 的极限时，往往需要先进行适当的放大与缩小.例如，将 放大为 ，缩小为 ,如果 和 的极限易求，且两者相同，则由上面的夹逼性质即可求出 的极限.