Question

球面一般方程的特点是什么?

Answer 1

三维空间中给定一点 解析失败 (语法错误): {\displaystyle O'{(x_0, y_0, z_0)}^{\operatorname{T}} ，我们称到这个点的距离为 {\displaystyle r} 的所有点的集合为一个球面，{\displaystyle r} 称为球面的半径，定点 {\displaystyle O'} 称为这个球面的球心，而两端都在球面上的最长线段称为直径 {\displaystyle d}，{\displaystyle d=2r.}

注意球面不是球，球包含球面及其内部，球面是二维封闭曲面，球是三维图形，只包括球面内部的所有点而不包括球面上的点称为开球。

方程
普通方程
由点点距离可推出球心 解析失败 (语法错误): {\displaystyle O'{(x_0, y_0, z_0)}^{\operatorname{T}} 半径 {\displaystyle r} {\displaystyle (r>0)} 的球面方程为

{\displaystyle (x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=r^{2}}
一般方程
假设 {\displaystyle a_{11},a_{1},a_{2},a_{3},a_{0}\in \mathbb {R} }, 令{\displaystyle {\displaystyle x_{0}={\dfrac {-a_{1}}{a_{11}}},y_{0}={\dfrac {-a_{2}}{a_{11}}},z_{0}={\dfrac {-a_{3}}{a_{11}}},\rho ={\dfrac {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}-a_{11}a_{0}}{a_{11}^{2}}}.}}
可得解析方程

{\displaystyle F(x,y,z)=a_{11}x^{2}+a_{11}y^{2}+a_{11}z^{2}+2a_{1}x+2a_{2}y+2a_{3}z+a_{0}=0.}
球面方程的特点是：不含交叉项，二次项系数相等。

如果 {\displaystyle \rho >0}，则 {\displaystyle F(x,y,z)=0} 表示 {\displaystyle O'(x_{0},y_{0},z_{0})} 半径 {\displaystyle {\sqrt {\rho }}} 的球面；
如果 {\displaystyle \rho =0}，则 {\displaystyle F(x,y,z)=0} 表示点球面，即 解析失败 (语法错误): {\displaystyle O'{(x_0, y_0, z_0)}^{\operatorname{T}} ；
如果 {\displaystyle \rho <0}，则 {\displaystyle F(x,y,z)=0} 表示虚球面。
参数方程
在球坐标系中，半径 {\displaystyle r>0}，中心在 解析失败 (语法错误): {\displaystyle O'{(x_0, y_0, z_0)}^{\operatorname{T}} 的球面上的点可以写成参数方程

Answer 2

球面方程的一般表达式是：x^2+y^2+z^2+Ax+By+Cz+D=0，则半径为R=√（（A+B+C-4D）/4），此公式也为方程配方所得。
球面，是在三维几何空间内理想的对称体。在数学上，这个定义是一个球体的表面或是边界；但是在非数学的使用上，这是三维空间中一个球或是只是其表面。在物理学中，球（通常被简化与理想化）是能碰撞或堆积与占有空间的一个物体。
一个半圆绕直径所在直线旋转一周所成的空间几何体叫做球体，简称球，半圆的半径即是球的半径。球体是有且只有一个连续曲面的立体图形，这个连续曲面叫球面。球体在任意一个平面上的正投影都是等大的圆，且投影圆直径等于球体直径。