Question

坐标转换与坐标系转换

Answer 1

一般而言坐标转换及坐标系的转换都是对应一个变换矩阵。以二维平面坐标为例，这里我们定义的坐标转换是指，在一个固定的坐标系，一个点 经由一个变换变到另一个点 ；坐标系转换是指，A坐标系通过一个旋转平移变换变成B坐标系后，对于一个在A坐标系的点 ，其在B坐标将变成 。假设我们知道这个变换对应的旋转为逆时针 角旋转外加平移向量 ，以下讨论上述两种情形下对于坐标点对应的转换矩阵的形式。

对于坐标转换，使用齐次坐标，变换矩阵的形式可以很容易给出

对于坐标系转换情形，我们分两步来说明。

假设A坐标系 到B坐标系 只有逆时针 角度的旋转，如图所示，那么我们有

即

变换一下得到，

假设B坐标系 到C坐标系 只有一个平移 ，那么

综合在一起，我们可以得到