Question

利用空间法向量求二面角具体方法

Answer 1

如果已经求得各点坐标,或者说我们说的,能够建系,
就用“法向量法”,所谓法向量,是指垂直于一个平面的直线,
根据向量可在平面内任意平移,我们可以知道,一个平面的法向量有无数多条.
以上是理论知识简介,因不知道你懂不,所以只得在此阐述下,
不然可能会对下面的问题的理解不透产生障碍.
具体做法：
1. 设分别设出两个平面的法向量,n1=(x1, y1, z1); n2=(x2, y2, z2)
2. 求出平面内线段所在直线的向量式（每个平面求出两个向量）
3. 利用法向量垂直平面,即垂直平面内所有直线,建立方程组（3元一次方程组,仅两个方程）
（1）建立的条件是,两个相互垂直的向量,乘积为0
（2）由于法向量有3个未知数,我们通常只用建立两个方程组成的方程组.这样可以得到关于这三个未知数的代数关系.而不是像初中的解三元一次方程组,可以解出一组唯一解.换句话说,由于各未知数间是满足一定的代数关系,那么立体几何中,依此法得出的应该是无数对解.不过,实际解题中,都是通过赋值法（见下详述）来得到唯一的一组解,即一个确定的法向量.
（3）赋值：即是赋予法向量的三个未知数中的某一个一个确实的代数值,比如0?1?等常实数,从而根据垂直向量数量积为0建立的方程中,得到的未知数之间的关系,就可以求出其他的两个未知数的具体的值.那么,这样得到的一个法向量,就是垂直于平面的一条法向量（仅是一条哈,因为平面法向量有无数条的）
PS：两条法向量的求法,都一致.
4. 我们根据异面直线所成的角的求法（平移其中一条或者两条到同一平面中,必须放到平面中来求的,对吧!）,可以知道,两个平面的任意法向量所成的角,都相等.
而两个半平面所成的二面角,与他们的法向量所成的角的平面角“互补”（千万注意此点,因为异面直线所在的角,一定是锐角或者直角,不可能是钝角；但是二面角,是可以为锐二面角或直二面角,也可以为钝二面角的）.
依据上面的理论依据,由向量的乘法,则可求出cos的绝对值（请最好加绝对值符号,异面直线所成的角,不能为钝角,因此余弦值不能为负,但向量方向不同,则可能求出的余弦值为负）.
5. 判断范围,注意取值.
上面,求cos的值时,请提前判断题目让所求两个半平面所成的角（1）是锐角或直角?即我们所说的锐二面角还是直二面角.（2）是钝二面角吗?
因为,根据向量的方向性,可以知道,如果向量所取的方向不同,cos的绝对值不变,但可能得到两个互为相反数的值,所以在利用法向量法求两个二面角的平面角时,先判断二面角的取值范围.锐二面或直,显然,直接取cos=A(0≤A