Question

C2/向量(矢量)vector

Answer 1

C2/目录：

1.向量/矢量 vector

在物理专业：向量只需满足两个条件：方向和大小。（可以随便移动）

线代：同上（但是，不能随便移动，向量有一端是固定在原点的）

计算机专业：任何数据都可以建模为一个n维“向量”（其实就是列表），顺序不能乱改。 “向量是有序的数字列表”

最好不要把向量看作空间箭头，而把它看作线性变换的物质载体。（向量似乎是一个特定变换的概念性记号）

向量（也称为欧几里得向量、几何向量、矢量），指具有大小（magnitude）和方向的量。它可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指：代表向量的方向；线段长度：代表向量的大小。与向量对应的量叫做数量（物理学中称 标量 ），数量（或标量）只有大小，没有方向。

矢量（vector）是一种既有大小又有方向的量，又称为向量。一般来说，在物百理学中称作矢量，例如速度、加速度、力等等就是这样的量。

1.1 表达方式

代数表示： a, b, c(字母上带箭头)或者AB， BC（带箭头）

几何表示： 画图

坐标表示：

取坐标轴作为基底，（例：取X轴，Y轴，Z轴方向相同的单位向量i，j，k），以起点坐标原点O作为起点。

由 平面向量基本定理 可知，有且只有一对 实数 （x,y），使得a=xi+yj，因此把实数对(x,y)叫做向量a的坐标，记作a=(x,y)。

由空间基本定理知，有且只有一组实数(x,y,z)，使得a=ix+jy+kz，因此把实数对(x,y,z)叫做向量a的坐标，记作a=(x,y,z)。这就是向量a的坐标表示。其中(x,y,z)，就是点P的坐标。向量a称为点P的位置向量。

向量的矩阵表示：

行列式的值是一个数字，表示向量所在空间的【元素】 大小。

对于平面直角坐标系而言（二维）：

比如，在平面直角坐标系中，整个平面可以由长宽均为1的方格构成，这个方格的大小为1。这个方格就是平面直角坐标系中的【元素】，大小为1。

平面坐标系中所有的点都可以用

（也就是a = 1i+0j，b= 0i+1j，两个单位向量）这两个向量来刻画，这两个向量也叫平面直角坐标空间的【标度】。

这两向量构成的行列式

那么，平面直角坐标系单元格大小，也就是【元素】大小为1的正方块。

也可以进行拉伸：

那么，这个新坐标系（2维空间）的【元素】大小为2的长方块。

再比如，我们对平面直角坐标系变形，用如下两个向量来刻画

那么，这个新坐标系（2维空间）的【元素】大小为2的平行四边形块。

从以上3个例子，可以看出来：在2维空间中，两个2维向量构成的的行列式的值，等同于两个向量组成的平行四边形面积大小。也就是说，在2维空间中，两个2维向量构成的的行列式的值，等同于两个2维向量的【叉积】。

+

对于三维空间而言：

比如，在空间直角坐标系中，这个空间可以由长宽高均为1的正方体构成，这个正方体的大小为1。这个正方体就是空间直角坐标系（3维空间）中的【元素】，大小为1。

那么可以看出来：在3维空间中，三个3维向量构成的的行列式的值，等同于三个3维向量的【混合积】。

由此，扩展到n维空间。在n维空间中，n个n维向量构成的行列式的值，表示n维向量所在的n维空间的【元素】 大小。同时，这n个n维向量也叫n维空间的【标度】。

1.2 向量加法原理

线代围绕两种基本运算： 向量的加法  和  向量数乘 。

（后面Span会介绍，仅靠加法 和 数乘，就可以张成一个完整的空间，所以线代只考虑这两种向量运算）

可以认为是运动的代替，两种路径同一个效果。

也可以把它看作数周上加法的一种扩展：比如2+5=7, 可以认为先向右走2步，然后再向右继续走了5步，最后总的效果就是走了7步。

再继续从数字角度看向量加法：

第一个向量的坐标是（1, 2），第二个向量的坐标是（3, -1）可以把它看作一个从原点出发，到第二个向量终点的四步移动。把两个向量首尾相连。向右一步，向上两步，向右三步，最后向下一步。

也可以换一种方法，先走完x的，再走完y 的。先向右走（1+3）步，然后再向上走（2-1）步（就是向上走2步再向下走一步）。

总的来说，在 “向量是有序的数字列表” 观点中，向量就是把对应项相加

1.3 向量数乘原理

“缩放” ——— “Scaling”

“标量” ——— “Scalars”

数字在线代中起到的主要作用就是缩放向量。上面两个作用差不多。

向量于一个数相乘，就是将向量拉伸（大于1），压缩（0-1），反向（负数），反向拉伸（小于-1），反向压缩（-1-0）。

从数字角度看，标量和向量乘法就是标量乘上每个分量。

1.4 线性组合和Span

一个向量可以用下做图表示（数值表示），也可以改为右图 i j 向量（基向量basis）表示。

每当我们用数字来描述向量的时候，都依赖于我们正在使用的基向量。两个数乘向量的和被称为这两个向量的线性组合（Linear combination）。

如果固定其中一个标量，让另一个标量自由变化，所产生的向量的终点会描述出一条直线。比如固定 1.00w 不变 变化 v 前面的scalar，变化出的是如下一条白线。

固定1.00 v 不变，变化 w 前面的scalar：

如果 v 和 w 前面scalar都变化，可以得到任意一个向量。这里还有两个特殊情况：1. v 和w 共线的化，不管scalar怎么变，他们始终在一条线上。2. 两个若都为零向量，不管scalar怎么变不会有任何影响。

所有可以表示为给定向量线性组合的向量的集合，被称为给定向量张成的空间（span）。换句话说，对于大部分二维向量来说，它们张成的空间是所有二维向量的集合。

若他们共线时，它们张成的空间是终点落在一条直线上的向量的集合。

同理应用到三维空间。两个向量加法和数乘：所有终点落在一个平面上的向量的集合是这两个向量张成的空间。

三维空间中，三个向量加法和数乘：有可能是面（第三个和前两个共面），或者如下，前两个向量形成面，然后第三个为基础来回移动这个面，从而扫过整个空间（形成一个空间）。（这种思考方式很重要，三个向量都变你当然知道是构成空间，但是没有一个很好的逻辑说清楚，但先以一二向量构成面，再以第三个向量坐标动来移动面，形成空间，一步一步思考有逻辑。）

1.5 线性相关和线性无关

比如上面所说，二维平面中，若如下，两个向量不管怎么变都在一条线上，根本无法扩展为面，则 w 和 v 就是线性相关（Linearly dependent） u = k*v （两个可以互相表示），两个向量里面有一个肯定是多余的。

在三维中，你又多个向量，并且可以移除一个而不减小张成的空间（比如三个向量，不管怎么变化，始终只产生一个面，说明三个中有一个是多余的）。其中一个向量可以表示为其他向量的线性组合，因为这个向量已经落在其他向量张成的空间里面了。

总结：如果所有向量都给张成的空间增添了新的维度，则是线性无关Linearly independent。

基的严格定义：向量空间的一组基是张成该空间的一个线性无关向量集。