证明,当x>0时,(1+x)In(1+x)>x
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证明:设函数f(x)=(1+x)ln(1+x)-x
∵f′(x)=(1+x)′ln(1+x)＋(1+x)[ln(1+x)]′-1
=ln(1+x)＋(1+x)×1/(1+x)×(1+x)′-1
=ln(1+x)＋1-1
=ln(1+x)
∵x＞0,∴ln(1+x)＞0
∴f(x)在（0,＋∞）单调递增
∴f(x)＞f(0)
∴f(x)=(1+x)ln(1+x)-x＞0
∴(1+x)ln(1+x)＞x
∵f′(x)=(1+x)′ln(1+x)＋(1+x)[ln(1+x)]′-1
=ln(1+x)＋(1+x)×1/(1+x)×(1+x)′-1
=ln(1+x)＋1-1
=ln(1+x)
∵x＞0,∴ln(1+x)＞0
∴f(x)在（0,＋∞）单调递增
∴f(x)＞f(0)
∴f(x)=(1+x)ln(1+x)-x＞0
∴(1+x)ln(1+x)＞x
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