Question

高等代数理论基础70：对偶空间

Answer 1

设V是数域P上一个n维线性空间,V上全体线性函数组成的集合记作

可用自然的方法在 上定义加法和数量乘法

设f,g是V的两个线性函数,定义f+g

f+g也是线性函数

f+g称为f与g的和

设f是V上线性函数, ,定义kf

kf称为k与f的数量乘积,易证kf也是线性函数

在上述定义的加法和数量乘法下, 成为数域P上的线性空间

取定V的一组基 ,作 上n个线性函数 ,使得

在基 上的值已确定,这样的线性函数存在且唯一

对V中向量 ,有 ,即 是 的第i个坐标的值

引理： ,有 , ,有

定理： 的维数等于V的维数,且 是 的一组基

证明：

定义： 称为V的对偶空间,由 决定的 的基,称为 的对偶基

V的对偶空间简记作

例：考虑实数域R上的n维线性空间 ,对任意取定的n个不同实数 ,由拉格朗日插值公式,得到n个多项式

它们满足

是线性无关的

由 ,用 代入即得

又V是n维的,故 是V的一组基

设 是在 点的取值函数

则线性函数 满足

故 是 的对偶基

V的两组基的对偶基之间的关系

设V是数域P上一个n维线性空间, 及 是V的两组基,它们的对偶基分别为 及

设

其中

由假设,

由矩阵乘法定义,

故

定理：设 及 是线性空间V的两组基,它们的对偶基分别为 及 ,若由 到 的过渡矩阵为A,则由 到 的过渡矩阵为

设V是P上一个线性空间, 是其对偶空间,取定V中一个向量x,定义 的一个函数

由线性函数的定义,易证 是 上的一个线性函数,故是 的对偶空间 中的一个元素

定理：V是一个线性空间, 是V的对偶空间的对偶空间, 到 的映射 是一个同构映射

证明：

注：定理说明,线性空间V也可看成 的线性函数空间,V与 实际上是互为线性函数空间

此即对偶空间名词的由来

故任一线性空间都可看成某个线性空间的线性函数所成的空间