解:当微分方程为y"+a²y'=8cosbx时，设微分方程的特征值为λ，特征方程为λ²+a²λ=0，得:λ=0或-a²，微分方程的特征根为1或e^(-a²x) 又∵微分方程的右式为8cosbx
∴设微分方程的特解为y=psinbx+qcosbx
(p、q为任意常数)，有y'=bpcosbx-
qbsinbx，y"=-b²psinbx-qb²cosbx，
-b²psinbx-qb²cosbx+a²(bpcosbx-qbsinbx)=8cosbx，有:a²bp-qb²=8，-b²p-a²qb=0；得:q=-8/(a^4+b²)，p=8a²/(ba^4+b³)，
微分方程的通解为y=A+Be^(-a²x)+
8a²sinbx/(ba^4+b³)-8cosbx/(a^4+b²)
(A、B为任意常数)
当微分方程为y"+a²y=8cosbx，且a=b时，设微分方程的特征值为λ，特征方程为λ²+a²=0，得:λ=±ai，微分方程的特征根为sinax或cosax 又∵微分方程的右式为8cosbx，且a=b ∴设微分方程的特解为
y=pxsinax+qxcosax，有y'=paxcosax+
psinax-qaxsinax+qcosax，y"=-
(pa²x+2qa)sinax+(2pa-qa²x)cosax，
-(pa²x+2qa)sinax+(2pa-qa²x)cosax+
a²(pxsinax+qxcosax)=8cosax，
-2qasinax+2pacosax=8cosax，得:
p=4/pa，q=0 ∴微分方程的通解为
y=(A+4x/pa)sinax+Bcosax(A、B为任意常数)
下图为运用微分方程解最速曲线问题
最速曲线
如果微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，那么该类微分方程就是常微分方程。常微分方程的通解构成一个函数族，主要研究方程或方程组的分类及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理论等等内容。
将求通解作为微分方程的主要目标，因为只要求出通解的表达式，那么解的性质等问题都将迎刃而解；
实际的研究发现，在实际中大部分情况是不能够求出通解的，于是研究重点转移到定解问题上来。
微分方程基本问题的解决：解的存在和唯一性定理；
由于大部分的常微分方程求不出解析解，而只能求近似解。
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2024-04-02 广告
y''+ay'=0的通解是y=c1+c2e^(-ax),
设y=mcosax+nsinax是①的特解，其中m,n是与x无关的常数。
y'=-amsinax+ancosax,
y''=-a^2*mcosax-a^2*nsinax,
都代入①，得-a^2*[(m-n)cosax+(m+n)sinax]=8cosax,
比较系数得n=-m,m=-4/a^2,
①的特解y=(-4/a^2)(cosax-sinax),
所以①的通解是y=c1+c2e^(-ax)-(4/a^2)(cosax-sinax).
可以吗？
题目是不是这样？ 请说明！
y''+ay = 8cos(bx)
