Question

柯西不等式怎么证明？

Answer 1

柯西不等式公式：

√（a^2＋b^2）≥（c^2＋d^2）。柯西不等式是由柯西在研究过程中发现的一个不等式，其在解决不等式证明的有关问题中有着十分广泛的应用，所以在高等数学提升中与研究中非常重要，是高等数学研究内容之一。

一般地，用纯粹的大于号“>”、小于号“，通常不等式中的数是实数，字母也代表实数，不等式的一般形式为F（x，y，…，z）≤G（x，y，…，z）（其中不等号也可以为中某一个），两边的解析式的公共定义域称为不等式的定义域，不等式既可以表达一个命题，也可以表示一个问题。

相关信息：

 柯西不等式是由柯西在研究过程中发现的一个不等式，其在解决不等式证明的有关问题中有着十分广泛的应用，所以在高等数学提升中与研究中非常重要，是高等数学研究内容之一。

据说，法国科学院《会刊》创刊的时候，由于柯西的作品实在太多，以致于科学院要负担很大的印刷费用，超出科学院的预算，因此，科学院后来规定论文最长的只能够到四页。柯西较长的论文因而只得投稿到其它地方。

Answer 2

证明：先证明左边，利用柯西不等式
（1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/2n)(n+1+n+2+...2n)>=(1+1...+1)^2=n^2
=>（1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/2n)>=n^2/((3n+1)2n/2)=2n/(3n+1)=2/(3/2+1/n)
显然在n=2时2/(3/2+1/n)取最小值，故2n/(3n+1)>=4/7
当且仅当1/（n+1)=1/(n+2)...1/2n且n=2取等号，显然是取不到的，故有
4/7<1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/2n
下面证明右边，利用柯西不等式：
(1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/2n)^2<=(1^2+1^2...+1^2)(1/(n+1)^2+1/(n+2)^2...1/(2n)^2)=n*(1/1/(n+1)^2+1/(n+2)^2...1/(2n)^2)
<=n*(1/(n(n+1）+1/（n+1)(n+2)...1/(2n-1)2n）
=n*(1/n-1/(n+1)+1/(n+1)+1/(n+2)...+1/(2n-1)-1/(2n))
=n(1/n-1/2n)=1/2
=>(1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/2n)^2<=1/2
=>1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/2n<=(根号2)/2
显然是不可能取等号的，所以右边也成立，故原命题成立，证毕！