Question

带余除法中的最大和最小

Answer 1

      有余数的除法有这样一类题：

      在除式（  ）➗（  ）=3……5中，被除数最小为（  ）。

      此题中，要使被除数最小，根据除法算式中求被除数的方法，被除数=商✖️除数+余数，可以知道，当商和余数一定时，除数最小，被除数也最小。因为余数是5，除数一定比余数大，所以除数最小为6，被除数最小为3✖️6+5=23。

      分析完这个题，很自然会想到，如果我们改变括号，也就是未知数的位置和数量，是不是也能得到新的最大或者是最小的结果呢？我们可以继续对这样的带余除法算式进行全面的分析。

      如果题目中被除数和除数都是已知的，那么商和除数就是确定的。比如69➗5=（  ）……（  ）中，商只能填13，余数只能填4，所以接下来的分析中这种情况我们不考虑。

      首先考虑一个未知数的情况：

1、（  ）➗6=3……5。这种情况下被除数只有唯一结果，3✖️6+5=23；

2、23➗（  ）=3……5。这种情况下除数只有唯一结果，（23-5）➗3=6。

      接着考虑两个未知数的情况：

1、（  ）➗（  ）=3……5。这种情况前面已经分析过了，除数最小为6，被除数最小为3✖️6+5=23。因为除数可以无限大，所以除数和被除数都不存在最大值；

2、23➗（  ）=（  ）……5。这种情况下，商✖️除数=23-5=18，也就是商和除数的积固定为18。因为在算式中除数必须大于5，最小为6，最大就是两数的积18。当除数最小为6时，商最大，为18➗6=3；当除数最大为18时，商最小，为18➗18=1；

3、23➗（  ）=3……（  ）。这种情况要稍复杂一些，通过算式我们可以看出，3个除数再加上余数等于23，我们先算出23➗3=7……2。这样的话，除数一定不能比7大。因为被除数中的除数个数不到4个，我们可以通过23➗4=5……3得知除数一定比5大，最小为6。根据分析的结果，当除数最大为7时，余数最小为2；当除数最小为6时，余数最大为5；

4、（  ）➗6=（  ）……5。这种情况下没有了除数和余数的限制，商最小可以为1，此时被除数最小为1✖️6+5=11。商可以无限大，所以商和除数都没有最大值；

5、（  ）➗6=3……（  ）。这种情况很明显，余数最小为1，此时被除数最小为3✖️6+1=19；余数最大为5，此时被除数最大为3✖️6+5=23。

      然后考虑三个未知数的情况：

1、23➗（  ）=（  ）……（  ）。这种情况下，因为余数最小为1，所以除数最小为2，23➗2=11……1，此时商最大为11，余数为1；除数最大为22，23➗22=1……1，此时商最小为1，余数为1。如果要求出余数的最大值，可以令商为1，可以算出余数最大为11，最小为1，大家可以思考一下为什么；

2、（  ）➗6=（  ）……（  ）。这种情况余数最小是1，最大是5。当商为最小1，余数也最小1时，被除数最小为1✖️6+5=11；因为商可以无限大，所以商和被除数都没有最大值；

3、（  ）➗（  ）=3……（  ）。这种情况余数最小为1，没有最大值。当余数为最小，除数为最小2时，被除数最小为3✖️2+1=7；因为余数和除数都可以无限大，所以被除数也没有最大值；

4、（  ）➗（  ）=（  ）……5。这种情况，除数最小为6，当商也取最小为1时，被除数最小为1✖️6+5=11；因为商和除数都可以无限大，所以被除数也没有最大值。

      最后来看四个未知数的情况：

（  ）➗（  ）=（  ）……（  ）。这种情况下，当余数取最小1，商取最小1，除数取最小2时，被除数最小为1✖️2+1=3；因为余数、商和除数都可以无限大，所以被除数也没有最大值。

      其实，通过上面的分析，大家可以看得出，在没有限制条件的时候，余数最小为1（因为题目中必须有余数），商最小为1，除数最小为2；当有限定条件时，除数必须比余数大。只要知道这些，这种问题就都可以轻松搞定啦。