Question

图中题怎么做？

求解不定积分

Answer 1

Answer 2

分享一种解法。∵x²=a²-(a²-x²)，∴原式=∫a²dx/√(a²-x²)-∫√(a²-x²)dx。
应用分部积分法，∫√(a²-x²)dx=x√(a²-x²)dx+∫x²dx/√(a²-x²)。
∴原式=∫a²dx/√(a²-x²)-x√(a²-x²)dx-∫x²dx/√(a²-x²)。又，∫dx/√(a²-x²)=arcsin(x/a)+C。
∴原式=(a²/2)arcsin(x/a)-(x/2)√(a²-x²)+C。

Answer 3

let
x=asinu
dx=acosu du
∫ x^2/√(a^2-x^2) dx
=a^2.∫ (sinu)^2 du
=(1/2)a^2.∫ (1-cos2u) du
=(1/2)a^2.[u -(1/2)sin2u] +C
=(1/2)a^2.[ arsin(x/a) -x.√(a^2-x^2)/a^2] +C
=(1/2)a^2.arsin(x/a) -(1/2)x.√(a^2-x^2) +C

追问

=(1/2)a^2.[ arsin(x/a) -x.√(a^2-x^2)/a^2] +C
这一步是怎么来的
sin（arcsinx/a）=x/a 不对吗？

Answer 4

∫x^2dx/√(a^2-x^2) = - (1/2)∫xd(a^2-x^2)/√(a^2-x^2)
= - ∫xd√(a^2-x^2) = - x√(a^2-x^2) + ∫√(a^2-x^2)dx
= - x√(a^2-x^2) + (1/2)x√(a^2-x^2) + (a^2/2)arcsin(x/a) + C
= - (1/2)x√(a^2-x^2) + (a^2/2)arcsin(x/a) + C