Question

二次函数在闭区间上的最值问题

Answer 1

二次函数在闭区间上取得最值时的x，只能是其图像的顶点的横坐标或所给区间的端点，因此影响二次函数在闭区间上的最值主要有三个因素：抛物线的开口方向、对称轴和区间的位置。在这三大因素中最容易确定的是开口方向，而对所给区间与对称轴位置的讨论时解决问题的关键。

1.所给区间确定，对称轴位置也确定

若所给区间是确定的，其对称轴位置也确定，则只要先考虑其对称轴横坐标是否在给定区间内，当对称轴横坐标在给定区间内时，其一个最值在顶点取得，另一个最值在于顶点横坐标距离交远的端点取得；当对称轴横坐标不在给定区间时，可利用函数单调性确定其最值。

2．所给区间变化，对称轴位置确定

若所给区间是变化的，而对称轴位置是确定的，则对于区间变化时是否包含对称轴的横坐标必须进行分类讨论，其分类标准为：变化区间中包含对称轴的横坐标；变化区间中不包含对称轴的横坐标。

3．所给区间确定。对称轴位置变化

若所给区间是确定的，但对称轴位置是变化的，则对予对称轴位置变化情况必须进行分类讨论；对称轴横坐标在给定区间内变化；对称轴横坐标在给定区间外变化。若对称轴横坐标只能在给定区间内变化，则只需考虑其与端点的距离。