Question

如图，AB=BC,以AB为直径的圆O交AC于点D,过D作DE垂直BC，垂足为E

（1）求证：DE是圆O的切线
（2）作DG垂直AB交圆O于G，垂足为F，若角A=30，AB=8,求弦DG的长

Answer 1

连结DO,DB,则BD⊥AC,AO=BO=BD===>∠ODB=∠OBD,∠ADO=∠A=∠C
Rt△BED∽Rt△BDC===>∠BDE=∠C=∠ADO
又∠ADO+∠ODB=90º===>∠BDE+∠ODB=∠EDO=90º
∴DE是圆O的切线

DB=AB/2=4
DG=2DF=2*(√3/2)*DB=4√3

Answer 2

（1）证明：连接OD．
∵OA=OD，∴∠A=∠1．
∵BA=BC，∴∠A=∠C．
∴∠1=∠C．
∵DE⊥BC，垂足为E，
∴∠2+∠C=90°．
∴∠1+∠2=90°．
∴∠ODE=90°．
∵点D在⊙O上，
∴DE是⊙O的切线．

（2）解：连接BD．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
∵∠A=30°，AB=8，
∴DB=4，∠ABD=60°．
∵OD=OB，
∴△ODB是等边三角形．
∵F是OB的中点，
∴DG⊥AB．
∴FD=FG．（5分）
在Rt△BDF中，∠ABD=60°．
∴DF=BD•sin60°=2
3．
∴DG=4
3．（6分