Question

基础解系一定是线性无关吗？

Answer 1

是的。

基础解系是线性无关的，简单的理解就是能够用它的线性组合表示出该方程组的任意一组解，是针对有无数多组解的方程而言的。

基础解系求法：

基础解系是（9, 1, -1)^T或（1, 0, 4)^T。

解：方程组同解变形为4x1-x2-x3= 0。

即x3= 4x1-x2。

取x1 = 0，x2 = 1，得基础解系（9, 1, -1)^T。

取x1 = 1，x2 = 0，得基础解系（1, 0, 4)^T。

基础解系不是唯一的，因个人计算时对自由未知量的取法而异，但不同的基础解系之间必定对应着某种线性关系。

证明

要证明一组向量为齐次线性方程组

的基础解系时，必须满足以下三条：

（1）这组向量是该方程组的解。

（2）这组向量必须是线性无关组，即基础解系各向量线性无关。

（3）方程组的任意解均可由基础解系线性表出，即方程组的所有解都可以用基础解系的量来表示。