Question

绝对值三角不等式公式

Answer 1

绝对值三角不等式定理：|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|。三角不等式，即在三角形中两边之和大于第三边，有时亦指用不等号连接的含有三角函数的式子。

绝对值三角不等式公式

||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|是由两个双边不等式组成。

一个是||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|，这个不等式当a、b同方向时（如果是实数，就是正负符合相同）|a+b|=|a|+|b|成立。当a、b异向（如果是实数，就是ab正负符合不同）时，||a|-|b||=|a±b|成立。

另一个是||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|，这个等号成立的条件刚好和前面相反，当a、b异向（如果是实数，就是ab正负符合不同）时，|a-b|=|a|+|b|成立。当a、b同方向时（如果是实数，就是正负符合相同）时，||a|-|b||=|a-b|成立。

三角不等式证明

设ABC为一个三角形，记△ABC，延长BA至点D，使DA=CA，连接DC.

则因DA=AC，∠ADC=∠ACD（等边对等角，《几何原本》命题5）

所以∠BCD大于∠ADC（整体大于部分公理）

由于DCB是三角形，∠BCD大于∠BDC，而且较大角所对的边较大（大角对大边，命题19）

所以DB>BC，而DA=AC

则DB=AB+AD=AB+AC>BC.