Question

行列式展开公式是什么？

Answer 1

行列式的展开公式是在线性代数的范围内，行列式的值代表由它的列向量张成的“立体”的“体积”。行列式按行展开的定理是拉普拉斯定理的一种简单情况，该行各元素分别乘以相应代数余子式求和，就等于行列式的值。

如果行列式D的第i行各元素与第j行各元素的代数余子式对应相乘后再相加，则当i≠j时，其和为零，行列式依行或依列展开，不仅对行列式计算有重要作用，且在行列式理论中也有重要的应用。

比如：行列式

D=|a11 a12 a13 a14|

|a21 a22 a23 a24|

|a31 a32 a33 a34|

|a41 a42 a43 a44|

a23处在二行三列，从原行列式中划去它所在的行和列各元素，剩下的元素按原位排列构成的新行列式，称为它的余子式。（是一个比原来行列式低一阶的行列式）

性质：

1、行列互换，行列式不变。

2、把行列式中某一行（列）的所有元素都乘以一个数K，等于用数K乘以行列式。

3、如果行列式的某行（列）的各元素是两个元素之和，那么这个行列式等于两个行列式的和。

4、如果行列式中有两行（列）相同，那么行列式为零。

5、如果行列式中两行（列）成比例，那么行列式为零。

6、把一行（列）的倍数加到另一行（列），行列式不变。

7、对换行列式中两行（列）的位置，行列式反号。

Answer 2

行列式的展开公式是行列式的一种计算方法，可以用于计算n阶行列式。展开公式也称为拉普拉斯定理或余子式展开定理。

设A为一个n阶矩阵，其行列式表示为|A|，那么行列式展开公式如下：

|A| = a₁₁C₁₁ + a₁₂C₁₂ + ... + a₁ₙC₁ₙ

其中，a₁₁、a₁₂、...、a₁ₙ为A的第一行元素，C₁₁、C₁₂、...、C₁ₙ为A的补余子式，满足C₁₁ = (-1)^(1+1)M₁₁，C₁₂ = (-1)^(1+2)M₁₂，...，C₁ₙ = (-1)^(1+n)M₁ₙ。

M₁₁、M₁₂、...、M₁ₙ为补余子式，表示A的元素a₁₁、a₁₂、...、a₁ₙ所在行和列划去后剩下矩阵的行列式。

通过行列式的展开公式，可以将一个n阶行列式转化为n个(n-1)阶行列式的和，然后递归地计算每个(n-1)阶行列式，最终得到行列式的值。

Answer 3

行列式展开公式是一种用于计算行列式的方法。对于一个n阶行列式，展开公式可以写成以下形式：
行展开公式：
det(A) = a1jC1j + a2jC2j + a3jC3j + ... + anjCnj
列展开公式：
det(A) = ai1Ci1 + ai2Ci2 + ai3Ci3 + ... + ainCin
其中，det(A)表示矩阵A的行列式的值，aij表示矩阵A第i行第j列的元素，Cij表示元素aij对应的代数余子式，即去掉第i行和第j列后形成的n-1阶子行列式的值。通过依次计算每个元素对应的代数余子式，并结合符号的正负，最后求和得到行列式的值。