Question

连续函数一定有界吗？

Answer 1

连续函数不一定有界。如y=1,x是奇数；y=2,x是偶数，y=0,x的其他情况。这个函数有界（有界的定义，存在m使m大于y的任何函数值），而显然不连续。例子很多的。不过连续函数在其定义域内总是有界的。

函数在某一点连续的定义就是在该点极限存在，从而连续的函数一定存在极限；连续函数一定有界。这句话必须加一个前提：是闭区间连续函数必有界而且有最大值最小值，不加是错的，比如y=x,连续但无界。

连续函数的性质：

1.有界性

所谓有界是指，存在一个正数M，使得对于任意x∈［a,b]，都有｜f(x)|≤M。证明：利用致密性定理：有界的数列必有收敛子数列。

2.最值性

所谓最大值是指，［a,b]上存在一个点x0，使得对任意x∈［a,b]，都有f(x)≤f(x0)，则称f(x0)为f(x)在［a,b]上的最大值。最小值可以同样作定义，只需把上面的不等号反向即可。

3.介值性

这个性质又被称作介值定理，其包含了两种特殊情况：

（1）零点定理。也就是当f(x)在两端点处的函数值A、B异号时（此时有0在A和B之间），在开区间（a,b)上必存在至少一点ξ，使f(ξ）=0。

（2）闭区间上的连续函数在该区间上必定取得最大值和最小值之间的一切数值。

4.一致连续性

闭区间上的连续函数在该区间上一致连续。所谓一致连续是指，对任意ε＞0（无论其多么小），总存在正数δ，当区间I上任意两个数x1、x2满足｜x1-x2|<δ时，有｜f(x1)-f(x2)|<ε，就称f(x)在I上是一致连续的。