Question

已知两平面x-2y+2z+21=0和7x+24z-5=0,求平分它们所夹二面角的平面方程？

Answer 1

设有两个平面P1和P2,其方程分别为x-2y+2z+21=0,7x+24z-5=0.
P1和P2决定一直线,我们设为L.
所有通过直线L的平面P的方程可以设为：x-2y+2z+21+K(7x+24z-5)=0,K为待定系数.即(1+7K)x-2y+(2+24K)z+21-5K=0.
P1的法向量为n1={1,-2,2},P2的法向量为n2={7,0,24}或{-7,0,-24}.（考虑到一个面上的法向量有两个方向）.
这两个向量的单位向量为
N1={1/3,-2/3,2/3},
N2={7/25,0,24/25}或{-7/25,0,-24/25}.
设N1和N2的和向量为N
显然,根据平行四边形拥有的性质,不难得到如下结论,向量N与N1,N2的夹角相等.
很显然,与向量N垂直的平面必定平分P1,P2所夹的二面角,即为题目所要求的平面.
N={1/3+7/25,-2/3+0,2/3+24/25}={46/75,-2/3,122/75}或
N={1/3-7/25,-2/3-0,2/3-24/25}={4/75,-2/3,-22/75}.
即N={23,-25,61}或{2,-25,-11}
所以P的方程可以为：
23x-25y+61z+D=0或
2x-25y-11z+D=0.（D为待定系数）
又P得方程还可以为(1+7K)x-2y+(2+24K)z+21-5K=0 （1）
所以对应系数成比例,故K=3/25或-3/25.
最后带入方程（1）,得到平分它们所夹二面角的平面方程如下：
23x-25y+61z+255=0 或 2x-25y-11z+270=0
上面的解法考虑了P2的法向量有两个相反方向,如果考虑P1的话,结果是一样的.
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或者这样做,得到23x-25y+61z+D=0或2x-25y-11z+D=0这两个平面方程后,由于P平面必定过P1与P2的交线L,所以可以通过联立x-2y+2z+21=0,7x+24z-5=0这两个方程（不定方程,解无穷多个,可以随便取一个解）,得到直线L上的一个点,将这个点的坐标分别带入23x-25y+61z+D=0或2x-25y-11z+D=0这两个方程,得到最后解答.
PERIOD!,7,