Question

1到101加减等于零有多少种？

Answer 1

对于这个问题，可以使用暴力搜索的方法，枚举每一个数是加号、减号还是不加不减，然后判断它们的和是否为0。这样做的时间复杂度是指数级别的，因此只能处理较小的问题规模。

更高效的方法是，利用数学的性质，想出一些简单的规律，通过计算得到答案。具体思路如下：

我们可以将1到101分成两个集合，A和B，A包含1到50，B包含51到101。我们假设在A中选择了k个数取负号，在B中选择了m个数取负号。则在A和B中共选择了k+m个数取负号，选出的数的和为S。因此，有以下方程：

(-1)^k * (1 + 2 + ... + 50) + (-1)^m * (51 + 52 + ... + 101) = S

其中，(-1)^k和(-1)^m是取负号的系数，1 + 2 + ... + 50是A中所有数的和，51 + 52 + ... + 101是B中所有数的和。

我们可以将式子进一步化简，得到：

(-1)^k * 1275 + (-1)^m * 3775 = S

现在问题转化为，对于任意固定的k和m，计算有多少个S可以满足上面的方程。这可以使用动态规划的方法来解决。我们可以根据方程的右边，推出S的所有可能取值（这些值不一定都是合法的，需要后面进行筛选）。然后，对于每一个S，我们可以记录它是否能够被得到，以及是在A中取的负号还是在B中取的负号。

最终答案就是，对于所有可能的k和m，有多少种情况下至少存在一个S=0。这个问题可以使用容斥原理求解。具体步骤如下：

1. 对于所有可能的k和m，计算有多少个S满足方程。

2. 对于每一个S，计算有多少种情况下它可以被得到。

3. 对于每一个k，计算有多少个S满足方程，且它们都是在A中取的负号。这个数量可以通过在步骤2中记录的信息计算得到。

4. 对于每一个m，计算有多少个S满足方程，且它们都是在B中取的负号。这个数量也可以通过在步骤2中记录的信息计算得到。

5. 对于每一个k和m，计算有多少个S满足方程，且它们既在A中取负号，又在B中取负号。这个数量可以通过将步骤3和步骤4中重复计算的部分去掉得到。

6. 最终的答案就是，对所有计算得到的数量进行容斥求和。如果某个数量是奇数，则加上它，否则减去它。这个操作可以用二进制位运算实现。

通过上述算法，可以在O(101^2)的时间复杂度内求解问题。实际上，由于只需要对每一个数记录两种状态，可以使用位运算来优化空间复杂度。因此，这个算法的时间复杂度为O(101^2/32)，可以轻松处理本问题规模。望采纳

Answer 2

1+101=2+100=……=50+52，余下51，
所以1+2+3+……+101的和是奇数，
所以从1到101只用加减不可能等于零。