Question

根号5是无理数吗

Answer 1

根号5是无理数，设根号下5不是无理数而是有理数，则设根号下5=p/q(p，q是正整数，且互为质数，即最大公约数是1)。两边平方，5=p^2/q^2, p^2=5q^2(*)。p^2含有因数5，设p=5m，代入(*)，25m^2=5q^2, q^2=5m^2，q^2含有因数5，即q有因数5。p,q有公因数5，与假设p,q最大公约数为1矛盾。根号下5=p/q(p，q是正整数，且互为质数，即最大公约数是1)不成立，所以根号下5不是有理数而是无理数。

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根号5是无理数，设根号下5不是无理数而是有理数，则设根号下5=p/q。两边平方，5=p^2/q^2, p^2=5q^2(*)。p^2含有因数5，设p=5m，代入(*)，25m^2=5q^2, q^2=5m^2，q^2含有因数5，即q有因数5。根号下5=p/q不成立，所以根号下5不是有理数而是无理数。