Question

线性微分方程解的形式是什么样子？

Answer 1

这个非常的重要，只有这样才是最好的，所以大部分人都是这个样子的。

其中方程左侧的微分算子是L线性算子，y是要解的未知函数，方程的右侧是一个已知函数。如果f(x) = 0，那么方程的解的线性组合仍然是解，所有的解构成一个向量空间，称为解空间。这样的方程称为齐次线性微分方程。当f不是零函数时，所有的解构成一个仿射空间，由对应的齐次方程的解空间加上一个特解得到。这样的方程称为非齐次线性微分方程。线性微分方程可以是常微分方程，也可以是偏微分方程。

线性微分方程是一类特殊的微分方程。一个线性微分方程的解构成向量空间或仿射空间，因此可以应用相关的代数知识来讨论解的性质。

设是方程的一个解函数。方程的任意一个解函数。则它们的和仍然是的解函数。另一方面，给定方程的两个解函数：和。则它们的差会是方程的解函数。这说明方程的所有解函数都可以写成的形式。其中V是方程的解空间。所以方程的所有解函数构成一个仿射空间V'，并且。

一种解线性微分方程的方法是欧拉发现的，他意识到这类方程的解都具有的形式，其中是某个复数。

得到非齐次线性微分方程的通解，首先求出对应的齐次方程的通解，然后用待定系数法或常数变易法求出非齐次方程本身的一个特解，把它们相加，就是非齐次方程的通解。