Question

三重积分怎么理解?

Answer 1

解释一下三重积分的数学意义
你说的不完全对，二重积分的几何意义并不是空间几何体的体积。在XOY平面外有一曲面z=f(x,y)，该曲面在XOY平面的投影为D，那么该曲面与XOY平面为上下底的柱体体积为∫∫f(x,y)dxdy所以一重积分是求曲线下与x轴所成图形的面积，二重积分是曲面下与XOY平面所成几何体的体积 那么三重积分呢，则是有两曲面f(x,y,z)和g(x,y,z），求两曲面之间所成几何体的体积，其中z的上下限分别为f(x,y),g(x,y)接着解释你第二个问题：你回想怎么求曲边梯形面积呢？将梯形的高dx累加，dx为无限小时求极限，就是一重积分。二重积分一样，曲面柱体体积怎么求呢?体积=底面积*高。底面积就是dS，高就是z函数值，而dS等于x轴微元乘以y轴微元，就是把x和y的dxdy都趋于无限小，dS=dxdy，因为就是小微元矩形的面积。累加求极限就是二重积分
如何理解三重积分和二重积分的区分？
积分的概念其实就是微元法，每种积分的积分区域都是代表了它被界定的范围。根据微元法，在二重积分中其积分区域每一个细微的部分都是一个小面，代表着面积，而被积函数代表一个数值也就是高，面积乘以高代表着二重积分的几何意义：体积。三重积...
三重积分的定义
设三元函数z=f(x,y,z）定义在有界闭区域Ω上将区域Ω任意分成n个子域Δvi(i=123…，n）并以Δvi表示第i个子域的体积.在Δvi上任取一点（ξiηiζi）作和（n/i=1 Σ（ξiηiζi）Δvi）.如果当各个子域的直径中的最大值λ趋于零时，此和式的极限存在，则称此极限为函数f(x,y,z）在区域Ω上的三重积分，记为∫∫∫f(x,y,z)dv，即Ω∫∫∫f(x,y,z)dv=lim λ→0 （n/i=1 Σf（ξi，ηi，ζi）Δvi），其中dv叫做体积元素。Ω ∫∫∫‥‥‥三重积分号f(x,y,z）‥‥‥被积函数f(x,y,z)dv‥‥‥被积表达式dv‥‥‥体积元x,y,z‥‥‥积分变量Ω‥‥‥积分区域Σf（ξi，ηi，ζi）Δδi‥‥‥积分和
这个三重积分怎么算？
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