Question

生男生女的几率问题？

Answer 1

过年我们走亲访友的时候，如果你在路上碰见了老友，恰巧发现他结了婚，问到他家里有几个小孩，没想到这时老友卖弄关子说道 “一共有两个小孩，其中一个是男孩。”

那么另外一个是男孩的几率有多大呢？

一般学过生物的可能会想到另一个孩子是男孩的几率是1/2，因为已经确定的这个男孩是不会影响到另外一个孩子的性别的。但我们现在要讲的是数学，可不是生物学。

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假如一共有1万户家庭，他们都生了两个孩子。由于1万这个基数还算比较大，所以生男生女的比例接近1:1，也就是说生出两个男孩的家庭有2500户，生出一男一女的家庭有5000户，生出两个女孩的家庭有2500户，来看下面这张图。

已知其中一个孩子是男孩，也就排除了生出两个女孩的情况，还剩7500户家庭。而生出两个男孩的家庭，一共有2500户。所以这个时候的概率是2500/7500=1/3。
但如果把问题改一下：

一对夫妻有两个小孩，已知其中一个是白天出生的男孩，请问另一个是男孩的概率是多少？

一对夫妻有两个小孩，已知其中一个是黑皮肤的男孩，请问另一个是男孩的概率是多少？

一对夫妻有两个小孩，已知其中一个是O型血的男孩，请问另一个是男孩的概率是多少？

一对夫妻有两个小孩，已知其中一个出生在星期二的男孩，请问另一个是男孩的概率是多少？

一对夫妻有两个小孩，已知其中一个是白天出生的男孩，请问另一个是男孩的概率是多少？

一对夫妻有两个小孩，已知其中一个是黑皮肤的男孩，请问另一个是男孩的概率是多少？

一对夫妻有两个小孩，已知其中一个是O型血的男孩，请问另一个是男孩的概率是多少？

一对夫妻有两个小孩，已知其中一个出生在星期二的男孩，请问另一个是男孩的概率是多少？

一对夫妻有两个小孩，已知其中一个符合某种筛选条件n（该条件必须概率均等，如一周每天出生概率都一样），请问两个都是男孩的概率是多少？还是1/3吗？

这时候可以通过一个公式来计算，首先假设筛选的条件是n，由于血型有4种，所以如果以血型作为筛选条件的话，那么n=4。而以白天黑天作为筛选条件的话，那么n=2。如果以星期几作为筛选条件的话，那么n=7。

当筛选条件n确定以后，就可以代入公式（2n-1）/(4n-1)。从公式可以看到，当n趋近于无穷大时，分子与分母的减1可以忽略不计，此时公式的结果接近于1/2。

也就是说如果我们的筛选条件给的越多，生男生女的概率就越接近于1/2。

再来看，如果老友说 “一共有两个孩子，最大的那个孩子是男孩。”

这时候另外一个孩子是男孩的几率有多大呢？

来看下表，还是一万户家庭，已知最大的那个孩子是男孩的家庭有5000户。在这个情况下另外一个孩子是男孩的几率是2500/5000=1/2。

“一共有两个小孩，其中一个是男孩。”

“一共有两个孩子，最大的那个孩子是男孩。”

第一个说法，另外一个孩子是男孩的概率是1/3。第二个说法另外一个孩子是男孩的概率是1/2。这两个说法有什么不同吗？

我们很容易就可以发现第二个说法的筛选条件更多了，当筛选条件更多了以后，生男生女的概率就越接近于我们印象中的1/2。

在第一个说法中，老友说“其中一个是男孩”，但并没有说明第一个是男孩还是第二个是男孩，所以在信息缺少的情况下，我们还得考虑两个孩子之间的顺序问题。

在第二个说法中，由于两个孩子之间的顺序问题已经确定了，最大的那个孩子是男孩，所以第1个孩子并不会对第2个孩子的性别产生影响。

在学习概率论之前，我们可能只是简单的停留在定性分析当中，例如生男生女概率是1/2，但学习了概率论之后，它可以帮助我们定量地分析问题，对未来做出精准的判断和决策。

正如罗振宇所说“概率论的作用，那肯定不用我多说，只要你想根据已有的信息，对未来做出判断和决策，咱们都离不开概率论。”