试求曲面z=2-x^2-y^2被平面z=1截下部分的曲面面积,马上要考试了!？
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∵z=2-x²-y²,则αz/αx=-2x,αz/αy=-2y
∴dS=√[1+(αz/αx)²+(αz/αy)²]dxdy
=√(1+4x²+4y²)dxdy
故 所求曲面面积=∫∫dS (D表示所求曲面面积在xy平面的投影园：x²+y²=1)
=∫∫√(1+4x²+4y²)dxdy
=∫dθ∫√(1+4r²)rdr (作极坐标变换)
=2π∫√(1+4r²)rdr
=(π/4)∫√(1+4r²)d(1+4r²)
=(π/4)(2/3)(5√5-1)
=π(5√5-1)/6.,3,
∴dS=√[1+(αz/αx)²+(αz/αy)²]dxdy
=√(1+4x²+4y²)dxdy
故 所求曲面面积=∫∫dS (D表示所求曲面面积在xy平面的投影园：x²+y²=1)
=∫∫√(1+4x²+4y²)dxdy
=∫dθ∫√(1+4r²)rdr (作极坐标变换)
=2π∫√(1+4r²)rdr
=(π/4)∫√(1+4r²)d(1+4r²)
=(π/4)(2/3)(5√5-1)
=π(5√5-1)/6.,3,
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