怎么判断有界无界?
值域是有限区间的函数,是有界函数。值域是无限区间的函数是无界函数。
例如,正弦函数y=sinx,对任意x∈(-∞,+∞),|sinx|≤1恒成立,所以y=sinx是R上的有界函数。
有的函数在定义域的部分区间上可能是有界的。
例如,一次函数y=2x+1,定义域(-∞,+∞),值域(-∞,+∞).它在定义域(-∞,+∞)上是无界的。但是它在区间(-1,2)上,值域(-1,5),它是有界的。事实上,它在定义域的任意的真子集上都是有界的。
有的函数在定义域的部分区间上可能是无界的。
例如,反比例函数y=1/x,定义域(-∞,0)∪(0,+∞),值域(-∞,0)∪(0,+∞).它在定义域(-∞,0)∪(0,+∞)上是无界的。它在区间(0,1)内,值域(1,+∞),它是无界的. 当然,它在区间(1,+∞)内,值域(0,1),它是有界的。
扩展资料:
有界函数并不一定是连续的。根据定义,ƒ在D上有上(下)界,则意味着值域ƒ(D)是一个有上(下)界的数集。根据确界原理,ƒ在定义域上有上(下)确界。一个特例是有界数列,其中X是所有自然数所组成的集合N。由ƒ (x)=sinx所定义的函数f:R→R是有界的。当x越来越接近-1或1时,函数的值就变得越来越大。
由ƒ (x)=sinx所定义的函数f:R→R是有界的。如果正弦函数是定义在所有复数的集合上,则不再是有界的。 函数 (x不等于-1或1)是无界的。当x越来越接近-1或1时,函数的值就变得越来越大。但是,如果把函数的定义域限制为[2, ∞).,则函数就是有界的。
函数是有界的。
任何一个连续函数f:[0,1] →R都是有界的。 考虑这样一个函数:当x是有理数时,函数的值是0,而当x是无理数时,函数的值是1。这个函数是有界的。有界函数并不一定是连续的。
有界函数的图形必介于两条平行于x轴的直线y=-M和y=M之间(当自变量为x时),笼统地说某个函数是有界函数或无界函数是不确切的,必须指明所考虑的区间。
例如,函数 在 内是有界的,因为对任意 ,存在M=1,使得 恒成立。