Question

求动点轨迹方程的主要方法是什么?

Answer 1

动 点 轨迹 方程 的求法 一、直接法 按 求 动 点 轨迹 方程 的一般步骤 求 ,其过程 是 建系设 点 ,列出几何等式,坐标代换,化简整理, 主要 用于 动 点 具有的几何条件比较明显时． 例1（1994年全国）已知直角坐标平面上 点 Q（2,0）和圆C：, 动 点 M到圆C的切线长与的比等于常数（如图）, 求 动 点 M的 轨迹 方程 ,说明它表示 什么 曲线． 设M（x,y）,直线MN切圆C于N, 则有, 即, ． 整理得,这就是 动 点 M的 轨迹 方程 ． 若, 方程 化为,它表示过 点 和x轴垂直的一条直线； 若λ≠1, 方程 化为,它表示以为圆心,为半径的圆． 二、代入法 若 动 点 M（x,y）依赖已知曲线上的 动 点 N而运动,则可将转化后的 动 点 N的坐标入已知曲线的 方程 或满足的几何条件,从而 求 得 动 点 M的 轨迹 方程 ,此法称为代入法,一般用于两个或两个以上 动 点 的情况． 例2 （1986年全国）已知抛物线,定点A（3,1）,B为抛物线上任意一点, 点 P在线段AB上,且有BP:PA=1:2,当 点 B在抛物线上变动时, 求 点 P的 轨迹 方程 ,并指出这个 轨迹 为哪种曲线． 设,由题设,P分线段AB的比, ∴ 解得. 又 点 B在抛物线上,其坐标适合抛物线 方程 , ∴ 整理得点P的 轨迹 方程 为 其 轨迹 为抛物线． 三、定义法 若 动 点 运动的规律满足某种曲线的定义,则可根据曲线的定义直接写出动 点 的 轨迹 方程 ．此法一般用于 求 圆锥曲线的 方程 ,在高考中常填空、选择题的形式出现． 例3 （1986年广东）若 动 圆与圆外切且与直线x=2相切,则 动 圆圆心的 轨迹 方程 是 （A） （B） （C） （D） 如图,设 动 圆圆心为M,由题意, 动 点 M到定圆圆心（－2,0）的距离等于它到定直线x=4的距离,故所 求 轨迹 是 以（－2,0）为焦点,直线x=4为准线的抛物线,并且p=6,顶点 是 （1,0）,开口向左,所以 方程 是 ．选（B）． 例4 （1993年全国）一动圆与两圆和都外切,则 动 圆圆心 轨迹 为 （A）抛物线 （B）圆 （C）双曲线的一支 （D）椭圆 如图,设 动 圆圆心为M,半径为r,则有 动 点 M到两定点的距离之差为1,由双曲线定义知,其 轨迹 是 以O、C为焦点的双曲线的左支,选（C）． 四、参数法 若 动 点 P（x,y）的坐标x与y之间的关系不易直接找到,而 动 点 变化受到另一变量的制约,则可 求 出x、y关于另一变量的参数 方程 ,再化为普通 方程 ． 例5 （1994年上海）设椭圆中心为原点O,一个焦点为F（0,1）,长轴和短轴的长度之比为t． （A） 求 椭圆的 方程 ； （2）设经过原点且斜率为t的直线与椭圆在y轴右边部分的交点为Q, 点 P在该直线上,且,当t变化时, 求 点 P的 轨迹 方程 ,并说明 轨迹 是 什么 图形． （1）设所 求 椭圆 方程 为 由题意得 解得 所以椭圆 方程 为 ． (2)设 点 解 方程 组 得 由和得 其中t＞1． 消去t,得点P 轨迹 方程 为 和． 其 轨迹 为抛物线在直线右侧的部分和抛物线在直线在侧的部分． 五、交轨法 一般用于 求 二 动 曲线交点的 轨迹 方程 ．其过程 是 选出一个适当的参数, 求 出二 动 曲线的 方程 或 动 点 坐标适合的含参数的等式,再消去参数,即得所 求 动 点 轨迹 的 方程 ． 例6 （1985年全国）已知两 点 以及一条直线：y=x,设长为的线段AB在直线上移动, 求 直线PA和QB交点M的 轨迹 方程 ． PA和QB的交点M（x,y）随A、B的移动而变化,故可设,则 PA： QB： 消去t,得 当t=－2,或t=－1时,PA与QB的交点坐标也满足上式,所以 点 M的 轨迹 方程 是 以上 是 求 动 点 轨迹 方程 的 主要 方法 ,也是常用 方法 ,如果 动 点 的运动和角度有明显的关系,还可考虑用复数法或极坐标法 求 轨迹 方程 ．但无论用何 方法 ,都要注意所 求 轨迹 方程 中变量的取值范围．