曲线ρ=2acosθ所围成图形的面积为多少?
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面积为πa^2。
求解如下:
因为ρ=2acosθ,所以cosθ=ρ/2a>=0
所以θ的取值范围是(-π/2,π/2)
则围成的面积为:
S=∫1/2*ρ^2dθ=∫2a^2cosθdθ=a^2∫(1+cos2θ)dθ=a^2+1/2a^2sin2θ
因为积分范围是(-π/2,π/2),所以有:
S=a^2+1/2a^2sin2θ
=a^2*[(0+π/2)-(0-π/2)]
=πa^2
所以曲线ρ=2acosθ所围成图形的面积为πa^2。
扩展资料:
第二种解法:
将极坐标方程ρ=2acosθ化为参数方程;
由ρ=2acosθ得,ρ^2=2aρcosθ
又∵ρ^2=x^2+y^2,ρcosθ=x
∴(2aρcosθ)^2=(ρcosθ)^2+y^2
化简得:(x﹣a)^2+y^2=a^2
由以上方程可知,极坐标方程ρ=2acosθ表示圆心在(a,0)点,半径为a的圆。
由圆得面积公式:S=πr^2(r为半径),得:
曲线ρ=2acosθ所围成图形的面积为:S=πa^2。
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