Question

什么是对称矩阵的相似对角化？

Answer 1

　　对角化是广义的，只是把矩阵化为对角形的矩阵而已，对对角元的取值不作要求（不要求其全不为零）。从这个意义上讲对称矩阵一定能相似对角化这是没错的。
具体地怎么实现相似对角化呢？实际上相似对角化就是找一个正交阵T
使得T'AT=T^(-1)AT=diag{λ1,..,.λ1;...;λr,...,λr}（每个λi有其几何重数个）
做法如下：
找出A的全部值并求全布特征值对应的特征向量αi1,...,αisi（si为λi的几何重数）
对每组αi1,...,αisi分别进行施密特正交化，而后将施密特正交化后的这r组向量按次序按列排成矩阵，记为T，T即为所求。
　　对角化这个概念是针对矩阵而言的，并且矩阵的对角化源自于线性变换的化简，所以最好先知道线性变换和线性变换与矩阵的对应关系。
　　设一线性变换a，在基m下的矩阵为A，在基n下的矩阵为B，m到n的过渡矩阵为X，
　　那么可以证明：B=X-1AX
　　那么定义：A，B是2个矩阵。如果存在可逆矩阵X，满足B=X-1AX ，那么说A与B是相似的(是一种等价关系)。
　　如果存在可逆矩阵X使A与一个对角矩阵B相似，那么说A可对角化。
　　相应的，如果线性变换a在基m下的矩阵为A，并且A相似于对角矩阵B，那么令X为过渡矩阵即可求出基n，并且在n下线性变换a的矩阵为对角矩阵，从而达到了化简。