Question

5设A为k阶矩阵,且 |A|=k, 则 |kA^(-1)|= __ ||A^1|= __ -|A|？

Answer 1

首先，我们有 $|kA^{-1}|=k^n|A^{-1}|$，其中 $n$ 是矩阵 $A$ 的阶数。这是因为，如果我们将矩阵 $A$ 的每个元素除以 $k$，那么矩阵的行列式也会除以 $k^n$。同时，矩阵的逆的行列式等于原矩阵的行列式的倒数，因此有：
|kA^{-1}| = k^n \cdot \frac{1}{|A|} = \frac{k^n}{k} = k^{n-1}∣kA−1∣=kn⋅∣A∣1=kkn=kn−1
又因为 $|A|=k$，所以有 $|kA^{-1}|=k^{n-1}$。
另外，根据行列式的性质，有 $|\lambda A|=\lambda^n |A|$，其中 $\lambda$ 是一个数。因此，有 $|A^k|=k^n|A|$。
将以上两个结果代入原式，可以得到：
|kA^{-1}|=k^{n-1}=|A^k|=-|A|+k|A|∣kA−1∣=kn−1=∣Ak∣=−∣A∣+k∣A∣
因此，有 $|kA^{-1}|=k^{n-1}=k|A|-|A|$。
综上所述，$|kA^{-1}|=k^{n-1}=k|A|-|A|$，$|A^k|=k^n|A|$。