Question

为啥对数函数求导是分数

Answer 1

这个问题非常有意思，高赞答主们从各个角度描述了对数函数的定义及其导数，但是其核心问题还是没有解决，即对数函数  为什么在某些方面像一个幂函数（  ）。

咋看之下这似乎是无稽之谈，明明等于  ，而其它的幂函数的定义也跟对数函数全然不同，除了对数函数的导数也是幂函数之外，似乎就没有其它相似之处了。

不过非常恰巧，我前段时间对各种不同的平均做了一点点研究，里头也有非常类似的“对数函数表现的像一个幂函数”的行为，不过读者需要先花一点点时间了解一下什么是幂平均。

对于两个正实数  和  ，我们知道他们的算术平均是  ，几何平均是  ，并且有算术几何平均不等式：  ，这是中学数学的范畴。

到了大学之后，偶尔我们会遇到另一种平均值：均方根(root mean square, RMS)，即 ，不过理解这个平均值依然只需要中学数学知识就够了：假设  （下同），不难发现  ，所以 确实介于 和  之间，可以当作是某种平均值。

有了均方根，我们很容易就想到，如果把二次方改成三次方行不行？四次方、五次方呢？这就很容易导出了幂平均的概念：  。这样一下子就把算术平均、均方根，推广了无穷多种平均值，只要代入不同的  就可以了，比如调和平均就也被包含了进来：  。

幂平均还有一个很有意思的性质，从图上也可以看出来，就是它关于  是单调的。事实上，如果 趋向于正（负）无穷，那么幂平均就会趋向于  (  )。对于任何有限的，则幂平均始终在  和  之间。

我们甚至可以对幂平均再做一次推广，把幂函数换成任意函数，把求根换成该函数的逆函数，就得到拟算术平均(quasi-arithmetic mean)，又叫广义f-平均(generalized f-mean):  ，幂平均就对应于  时的情形。

好了，现在背景知识都介绍完了，这与本来的问题有什么关系呢？

别急，我们刚刚忘了提几何平均了，既然幂平均可以一直从  走到 ，那几何平均在其中的什么位置呢？

也许你已经猜到了，几何平均就在  的位置！

注意到幂平均在  处是没有定义的，因为不能开零次方根，但是我们可以用极限的角度定义  。

证明其实不难，只要注意到对于任意的  ，我们有  ，而由于  当 时是单调减的所以不等号要反过来，就可以知道  只能在在  的位置了。

所以按照幂平均与  的对应关系，  似乎对应于对应的广义平均。然而事实上，是下的广义平均。这么一看  是不是跟幂函数  有了某些奇怪的相似关系了？

事实上，幂平均（包含  的特殊情形几何平均）是唯一一种满足齐次性的拟算术平均。什么是齐次性呢？简单地说，  （两米）跟  的平均值，根据平均值的定义方式的不同，不一定是  ，也许是比方说  。但是如果我们把这两个数换个单位，那么齐次性要求  跟  在同一个定义下，平均值必须是  。换句话说， 我们要求平均值  满足 ，或者更一般的，  ，这就是（一次）齐次性。

这个齐次性的要求既自然又苛刻，事实上，只要我们要求广义平均满足齐次性，可以证明  只能是幂函数  或者对数函数  ，顶多加上一个常数因子。其它的函数比如指数函数等都是不满足这个性质的。

所以说，对数函数与幂函数的关系远比表面上看起来更加复杂，其中更深入的关系还望有学数学的大神前来揭秘。

竟然这么多人看，趁机推销一下我自己写的段子好了

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编辑于 2023-01-23著作权归作者所有