Question

e^(-1/x^2)/x x趋向于0 求极限

不会做还希望各位大侠高手指教。。。

Answer 1

0。

设y = 1/x²,x = ±y^(-1/2)

e^(-1/x^2)/x

= ±e^(-y) / y^(-1/2)

= ±y^(1/2) / e^y

x → 0 等价于 y → ∞

lim[(e^(-1/x^2))/x,x → 0]

= lim[ ±y^(1/2) / e^y,y → ∞ ]

y^(1/2) / e^y 为 ∞/∞ 型,可用洛必达法则

y^(1/2)求导为(1/2)y^(-1/2),e^y求导为e^y

lim[(e^(-1/x^2))/x,x → 0]

= lim[ ±y^(1/2) / e^y,y → ∞ ]

= lim[ ±(1/2)y^(-1/2) / e^y,y → ∞ ]

= lim[ ±1 / 2y^(1/2)e^y,y → ∞ ]

= 0

极限的求法有很多种：

1、连续初等函数，在定义域范围内求极限，可以将该点直接代入得极限值，因为连续函数的极限值就等于在该点的函数值。

2、利用恒等变形消去零因子（针对于0/0型）。

3、利用无穷大与无穷小的关系求极限。

4、利用无穷小的性质求极限。

5、利用等价无穷小替换求极限，可以将原式化简计算。

6、利用两个极限存在准则，求极限，有的题目也可以考虑用放大缩小，再用夹逼定理的方法求极限。

Answer 2

设y = 1/x²，x = ±y^(-1/2)

e^(-1/x^2)/x
= ±e^(-y) / y^(-1/2)
= ±y^(1/2) / e^y

x → 0 等价于 y → ∞

lim[(e^(-1/x^2))/x, x → 0]
= lim[ ±y^(1/2) / e^y, y → ∞ ]

y^(1/2) / e^y 为 ∞/∞ 型，可用洛必达法则
y^(1/2)求导为(1/2)y^(-1/2)，e^y求导为e^y

lim[(e^(-1/x^2))/x, x → 0]
= lim[ ±y^(1/2) / e^y, y → ∞ ]
= lim[ ±(1/2)y^(-1/2) / e^y, y → ∞ ]
= lim[ ±1 / 2y^(1/2)e^y, y → ∞ ]
= 0

Answer 3

令t = 1/x，原式变为
t e^(-t^2) = t/e^(t^2) , t趋向于无穷
罗比大法则，分子分母求导
lim t/e^(t^2) = 1/(2t*e^(t^2) = 0, t趋向于无穷