Question

5 微分方程 y'=4x²y 的通解为？

Answer 1

【变量分离法】
首先将方程重写为分离变量的形式：
dy/y = 4x^2 dx
接下来，对方程两边同时积分：
∫ (1/y) dy = ∫ (4x^2) dx
对左边的积分得到 ln|y| + C1，其中 C1 是积分常数。
对右边的积分得到 (4/3) x^3 + C2，其中 C2 是积分常数。
因此，原方程的通解可以表示为：
ln|y| = (4/3) x^3 + C2
如果我们取指数函数，得到：
|y| = e^((4/3) x^3 + C2)
由于指数函数是正的，我们可以写成两种形式：
y = e^((4/3) x^3 + C2) 或 y = -e^((4/3) x^3 + C2)
其中 C2 是一个常数。
以上为微分方程 y' = 4x^2y 的通解。
不过，值得注意的是，由于题目没有给定初始条件，所以这个通解包含了所有可能的解。

Answer 2

微分方程 y' = 4x²y 是一个一阶常微分方程。我们可以使用分离变量的方法来求解它：
将方程重新排列为：dy/y = 4x²dx
然后，对两边同时积分：
∫(1/y)dy = ∫4x²dx
积分后得到：
ln|y| = 4/3 * x³ + C
其中，C是积分常数。
接下来，我们可以通过取指数来解出y：
|y| = e^(4/3 * x³ + C)
由于指数函数的性质，我们可以将绝对值符号去掉，并用±表示两个可能的解：
y = ± e^(4/3 * x³ + C)
因此，微分方程 y' = 4x²y 的通解为 y = ± e^(4/3 * x³ + C)，其中C为任意常数。

Answer 3

解:微分方程为y'=4x²y，化为dy/dx=4x²y，dy/y=4x²dx，ln|y|=4x³/3+ln|c|(c为任意非零常数)，微分方程的通解为y=ce^(4x³/3)

Answer 4

y'= 4x^2.y
∫dy/y =∫ 4x^2 dx
ln|y| = (4/3)x^3 + C'
y= e^[(4/3)x^3 + C']
y= C.e^[(4/3)x^3]
微分方程 y'=4x^2.y 的通解为 : y= C.e^[(4/3)x^3]

Answer 5

y'=4x²y
y'/y=4x²
lny=(4x^3)/3+C