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5 微分方程 y'=4x²y 的通解为?
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【变量分离法】
首先将方程重写为分离变量的形式:
dy/y = 4x^2 dx
接下来,对方程两边同时积分:
∫ (1/y) dy = ∫ (4x^2) dx
对左边的积分得到 ln|y| + C1,其中 C1 是积分常数。
对右边的积分得到 (4/3) x^3 + C2,其中 C2 是积分常数。
因此,原方程的通解可以表示为:
ln|y| = (4/3) x^3 + C2
如果我们取指数函数,得到:
|y| = e^((4/3) x^3 + C2)
由于指数函数是正的,我们可以写成两种形式:
y = e^((4/3) x^3 + C2) 或 y = -e^((4/3) x^3 + C2)
其中 C2 是一个常数。
以上为微分方程 y' = 4x^2y 的通解。
不过,值得注意的是,由于题目没有给定初始条件,所以这个通解包含了所有可能的解。
首先将方程重写为分离变量的形式:
dy/y = 4x^2 dx
接下来,对方程两边同时积分:
∫ (1/y) dy = ∫ (4x^2) dx
对左边的积分得到 ln|y| + C1,其中 C1 是积分常数。
对右边的积分得到 (4/3) x^3 + C2,其中 C2 是积分常数。
因此,原方程的通解可以表示为:
ln|y| = (4/3) x^3 + C2
如果我们取指数函数,得到:
|y| = e^((4/3) x^3 + C2)
由于指数函数是正的,我们可以写成两种形式:
y = e^((4/3) x^3 + C2) 或 y = -e^((4/3) x^3 + C2)
其中 C2 是一个常数。
以上为微分方程 y' = 4x^2y 的通解。
不过,值得注意的是,由于题目没有给定初始条件,所以这个通解包含了所有可能的解。
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微分方程 y' = 4x²y 是一个一阶常微分方程。我们可以使用分离变量的方法来求解它:
将方程重新排列为:dy/y = 4x²dx
然后,对两边同时积分:
∫(1/y)dy = ∫4x²dx
积分后得到:
ln|y| = 4/3 * x³ + C
其中,C是积分常数。
接下来,我们可以通过取指数来解出y:
|y| = e^(4/3 * x³ + C)
由于指数函数的性质,我们可以将绝对值符号去掉,并用±表示两个可能的解:
y = ± e^(4/3 * x³ + C)
因此,微分方程 y' = 4x²y 的通解为 y = ± e^(4/3 * x³ + C),其中C为任意常数。
将方程重新排列为:dy/y = 4x²dx
然后,对两边同时积分:
∫(1/y)dy = ∫4x²dx
积分后得到:
ln|y| = 4/3 * x³ + C
其中,C是积分常数。
接下来,我们可以通过取指数来解出y:
|y| = e^(4/3 * x³ + C)
由于指数函数的性质,我们可以将绝对值符号去掉,并用±表示两个可能的解:
y = ± e^(4/3 * x³ + C)
因此,微分方程 y' = 4x²y 的通解为 y = ± e^(4/3 * x³ + C),其中C为任意常数。
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解:微分方程为y'=4x²y,化为dy/dx=4x²y,dy/y=4x²dx,ln|y|=4x³/3+ln|c|(c为任意非零常数),微分方程的通解为y=ce^(4x³/3)
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y'= 4x^2.y
∫dy/y =∫ 4x^2 dx
ln|y| = (4/3)x^3 + C'
y= e^[(4/3)x^3 + C']
y= C.e^[(4/3)x^3]
微分方程 y'=4x^2.y 的通解为 : y= C.e^[(4/3)x^3]
∫dy/y =∫ 4x^2 dx
ln|y| = (4/3)x^3 + C'
y= e^[(4/3)x^3 + C']
y= C.e^[(4/3)x^3]
微分方程 y'=4x^2.y 的通解为 : y= C.e^[(4/3)x^3]
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y'=4x²y
y'/y=4x²
lny=(4x^3)/3+C
y'/y=4x²
lny=(4x^3)/3+C
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