Question

已知f（ x）= x+1/ x，求f(n)。

Answer 1

（1）用赋值法，令m=n=0，代入的f（0+0）=f（0）f（0），f（0）=f（0）²，得f（0）=0或1，当f（0）=0时，任意x∈R，都有f（x）=f（x+0）=f（x）f（0）=0，此时f（x）恒为0，与题目条件矛盾，故舍去，所以f（0）=1
（2）令x<0，则-x>0，f（x+（-x））=f（x）f（-x）=f（0）=1，f（x）=1/f（-x），因为-x>0，所以满足f（-x）>0，所以1/f（-x）>0，即当x<0时f（x）>0。结合已知的x>0时f（x）>0，和f（0）=1>0，所以x∈R，恒有f（x）>0
（3）因为f（x）恒>0，可以利用做商法，对于任意的x1，x2=x1+a，a>0，f（x2）/f（x1）=f（x1+a）/f（x1）=f（x1）f（a）/f（x1）=f（a），因为a>0，所以f（a）<1，所以f（x2）<f（x1）所以f（x）在R上为减函数