Question

sinA+sinC的平方=sin平方B+3sinAsinC,求A

Answer 1

根据您所给的条件，能求出角B

供参考，请笑纳。

Answer 2

首先，根据三角恒等式，有：
sin²B = 1 - cos²B
将第二个等式中的sin²B替换成第一个等式中的sinA+sinC的平方和3sinAsinC，得到：
sinA+sinC的平方 + 3sinAsinC = 1 - cos²B
化简，得到：
sin²A + sin²C + 2sinAsinC + 3sinAsinC = 1 - cos²B
sin²A + sin²C + 5sinAsinC + cos²B - 1 = 0
根据余弦定理，有：
cos²B = a² + c² - b²)/(2ac)
将上式中的cos²B替换成上式右侧的表达式，得到：
sin²A + sin²C + 5sinAsinC + (a² + c² - b²)/(2ac) - 1 = 0
移项，整理，得到：
2ac(sin²A + sin²C + 5sinAsinC) = b² - a² - c² + 2ac
将sin²A和sin²C用余弦定理表示，得到：
2ac(1 - cos²A + 1 - cos²C + 10sinAsinC) = b² - a² - c² + 2ac
化简，得到：
12cosAcosC + 8sinAsinC = b² - a² - c²
根据余弦定理，有：
cosA = (b² + c² - a²)/(2bc)
cosC = (a² + b² - c²)/(2ab)
将上式中的cosA和cosC用右侧的表达式表示，得到：
12((b² + c² - a²)/(2bc))((a² + b² - c²)/(2ab)) + 8sinA(sinB + sinA)/2 = b² - a² - c²
整理，得到：
6(b² + c² - a²)(a² + b² - c²) + 16bcsinA(w) = (b² - a² - c²)2ab
移项，整理，得到：
2a²b² + 2a²c² - b⁴ - c⁴ = 2b²c² + 4abcsinA
这是一个二次方程，可以用求根公式求解，得到：
sinA = (b² + c² - a²)/(2bc) 或 sinA = (a² + b² - c²)/(2ab)
因为sinA的范围是-1到1之间，所以只有第一个根是有效的。将上式中的a, b, c代入，得到：
sinA = (5 + 4√2)/8 或 sinA = (√2 - 1)/2
因此，
A = arcsin((5 + 4√2)/8) 或 A = arcsin((√2 - 1)/2)